CHAPITRE IX. — COURBES PLANES PARTICULIERES. I
t mire l'extrémité / de la sous-tangente, substituer à l'ellipse le cercle décrit sur VA connue diamètre, ce qui donne la construction immédiate de la tangente* et de la normale.
Remarquons encore L'expression simple de la normale N. On a dans le cas actuel
(,3) N=__Z=Ji£*H.
cosx a sitW a
Courbure. — On lire de la formule (12)
da b dl
II2 cos*a H2 a sin2 t
ou, en tenant compte de la première des formules (11),
da
ab
dl
ab
Si Ton remplace H, dans cette expression du rayon de courhure, par sa valeur tirée de l'équation (i3 ), il vient
Le rayon de courbure est donc égal au cube de la normale divisé par le carré du paramètre — Nous avons vu (p. 142) que cette propriété est caractéristique des coniques ayant pour axe OX.
Développée, — Les formules générales qui donnent les coordonnées du centre de courhure sont dans le cas actuel
X\ = x s- si n a = a eos / cos t = — cos3 1.
ab a a
— r COSX — b SU) t — —r- Slll t = r-
ab b b
y\= y -t- t cos a = b sin£ — -r- sin/ = — sin3/.
Si Ion pose
«Il T = *li
on trouve, en éliminant t. pour l'équation de la développée
l5C> DEUXIEME PARTIE. — COURBES PLANES Ol- GAUCHES.
Remarque. — A l'arc AB de l'ellipse correspond l'arc CD de la développée l'abscisse du point de rebroussement C est égale
à — , l'ordonnée de D est T ; on vérifie sans peine que la droite CD
(jui joint ces deux points passe par le sommet E du rectangle OABE
el est perpendiculaire à la diagonale VB.
Rectification de l'ellipse. — La quadrature de l'ellipse ne présente pas d'intérêt, l'aire du triangle curviligne AMP s'obtient immédiatement en considérant la courbe comme la projection orthogonale du cercle. Quand à la longueur de lare de courbe AM elle est donnée par l'intégrale définie
AM = I \'a- sin2// -t- b* cos2 u
du
qui se ramène, comme on sait, à la somme de deux intégrales elliptiques, l'une de première, l'autre de seconde espèce. On peut aussi appliquer la formule de rectification de Legendre et la comparaison des deux méthodes conduit tout naturellement à la notion des points associés. L'équation générale des tangentes est en effet
— cost -+- v sin t = i ,
c'est-à-dire, d'après les formules ( i i ),
ab
x si na — y cosa — tj- — = \/ a- sin2a -t- b- cos2a = /(et).
La formule de rectification de Legendre nous donne donc, en appelant / la distance de la normale en M au centre de la courbe,
arcAM = / ~ ! H{ u )(/it,
c qui peui décrire, en faisant sous l'intégrale la substitution
arc A. M
/— / H(t<)dii.
