CHAPITRE IX. — COURBES PLANES PARTICULIERES. I

ou encore, en vertu de la formule (<)),

arc A Al = / -+- arcBM,,

Mt étant le point de la courbe correspondant à la valeur l\ = ~ — a du paramètre.

La différence des deux ares AM et BM| est donc équivalente au segment reetiligne /; cette égalité constitue le tliéorènie de Kagnano. Les points M et M, sont dits associés.

lie marque. — La relation tang/tanga = donne entre les

paramètres des deux points associés la relation symétrique

On peut d'ailleurs mettre la relation de Fagnano sous la forme également symétrique

arc AM) -t- arc AM = l -+- arc AB.

On en conclut évidemment 1= lt; donc : les normales en des points associés sont équidislantes du centre de V ellipse.

43. Cycloïde. Épicycloïdes. — Soit un point V, mobile sur une droite OX; construisons un cercle de centre C et de rayon a

Fis. -.->-.

langent à OX au point A. et portons sur ce cercle, dans la direction VO, un arc de longueur VO; le lieu du point M, extrémité de cet arc, lorsque \ décrit OX, est la cycloïde OM.

Soit / l'angle ACM; projetons le contour OAGM sur OX et sur

la perpendiculaire 01 à cette droite, nous obtenons, pour représenter la courbe, les deux équations

( x = a( t — sin / ).

[ y = a(l — COS< ).

Les valeurs t, 2tï -\- t donnent deux points homologues situés sur deux boucles consécutives, il suffit donc de faire varier t de ci à 2tc. En outre les deux valeurs t, it — t déterminent des points M, M, pour lesquels on aj=j'h x-\-x{ = iaiz: d'où cette conséquence que la droite x=aTz est un axe de symétrie de la première boucle et qu'il suffît de faire varier t de o à -.

< )n déduit des relations ( 1 5)

l dx = dscosa = îa sin2 dl.

I dy = ds sin a = %a sin - cos - é//.

( )n en conclut immédiatement que le point O est un point de rebroussement, que le point ù = tz est un sommet où la tangente est horizontale; la normale en ce point S étant dirigée vers OX, on voit que la tangente est parallèle à la direction des a: négatifs; les arcs doivent donc être comptés positivement dans le sens

ds de la flèche; en d'autres termes -j est négatif et les formules ( 16)

doivent être remplacées par les suivantes :

ds = — 2 a sin - dt,

. cosa= — sin— » siii2= — cos-?

On en déduirait sans difficulté tout ce que nous savons (§ 15) sur la cycloïde relativement à la tangente, à la courbure, à la rectification et à la quadrature de la courbe. On a en particulier, pour les expressions de la normale N et du rayon de courbure R,

N = — — 2 a sin - , R.s= la stn — = 2 N.

cosa 2 2