CHAPITRE IX. — COURBES PLANES PARTICULIÈRES
Celle dernière propriété est caractéristique de la cycloïde. En d'autres termes : toute courbe plane dont Le rayon de courhure est double de ta normale est une cycloïde ayant pour base OX.
L'équation différentielle d'une lelle courbe peut en ellel se mellre sous la forme
(18) ds= -^-rfa:
cosa
ou. en multipliant par sina.,
. 2 y sina .
a y = s aa,
cosa
d'où, en intégrant et appelant a une constante arbitraire, y = 2 a cos'2 a = a( i -+- cos -i-x).
L'équation ( i3) devient alors
ds cosa = d.r = — na{ i -+- cos 2 a i <7a,
ou, en intégrant,
x = .r0 — i a a — a sina a.
Si nous remplaçons 2 a par .jtt — t nous obtenons x et y en fonction de / par les deux équations
x = x0 — 3 - a -t- ai t — sin t), y = a([ — cos£ ).
Il suffit de déplacer l'origine d'une quantité égale à ?>-^a suivant OX pour retrouver les équation (i5) de la cycloïde.
Epicycloïdes. — Considérons de même l'épicycloïde engendrée par un point M appartenant à un cercle de centre C et de rayon a qui roule sans glisser sur un cercle fixe de. centre O et de rayon b ; soient P le point de contact, V l'un des points de rebroussement (voir première Partie, § 16). Prenons pour axes le rayon OA du cercle fixe et le rayon perpendiculaire OY; si nous désignons
par m, t les deux angles \OP, PCM nous aurons, pour les équations de l'épicycloïde, quand le contact est extérieur (jig. 73) :
x = (b -+- a )cosu -t- a cos(« -+- t — ie) = (b ■+■ a) cos m — a cos( it -ht), y = (b -+- a) sin u -t- a sin( u -+- t — ~) — ( b -+- a ) sina — a sin (h -t- / |.
I Cm»
On a d'ailleurs, en écrivant l'égalité des deux ares PA, VM, bu = ni ; et si l'on désigne par n le rapport - on a en définitive,
lig. 73.
ainsi que nous lavons vu au paragraphe 16,
— = ( n -+- I ) COSM — cos('/i -+- i)u, a
= (n -+- 1) sin u — sin( « ■+■ du.
Si le conlaet était intérieur {fig. ~\) on aurait, en appelant a' la
Kg- 74-
valeur absolue du rayon du cercle mobile :
a- = ( b — a' ) cos u -+- «' cos( « — *)* y = (b — a') sin t< -h «' sin( « — /),
ou, en désignant par — n le rapport- et remarquant que bu =a't
