CHAPITRE IX. — CINÉMATIQUE DU PLAN. I (j l
entraîne I égalité t = — n //,
— = — ( n -+- 1 ) eus u -(- cos ( /H- I ) w, *-; = — ( /> H- i ) sin H -(- smf;i -t- i la.
Si donc on représente par a le valeur algébrique — a! du vecteur PC les équations (19) conviendront à toute épicycioïde, que le
contact soit intérieur ou extérieur, les paramètres 11 et a étant tous deux positifs dans le premier cas, négatifs dans le second. Si l'on différentie les équations (19), ce qui donne
dx , .nu ( n
ds
nu
- ■> xi sin — >
du
— = ( xn -4- x )a s m — cos - -4-1 ) u, du 2
dy . nu .fn \
-1- = (2/n- 2 )« sin — si n - -4- 1 ) u, a a 2 \a /
on constate que la normale au point a = o est parallèle à oy, on en conclut que le sens des arcs positifs dans les environs du point V
«•si celui dans lequel u augmente, en d'autres termes -7- est positif ; on a donc
De ces équations découlent toutes les propriétés démontrées au paragraphe 16; notons seulement les formules suivantes :
• nu 1, 4(«-t-i) . nu 2 « + ïmd
M I* = ia sin — , H = a sin — = MF,
(jui permettent de construire en chaque point le centre et le rayon de courbure.
Epicycloïdes particulières. — La valeur du paramètre n détermine complètement l'épicycloïde au point de vue de la forme. Nous avons vu que si n est rationnel l'épicycloïde est algébrique et composée d'un nombre limité de boucles. Quelques-unes de ces courbes, correspondant à des valeurs entières de />, sont extrêmement remarquables. Parmi les epicycloïdes non algébriques, nous avons signalé la cycloïde et la développante de cercle dont les équations se déduisent sans difficulté des équations (19). l'ourla D. 'i
cycloïde on doit d'abord transporter l'origine au point A, puis faire n infini, et l'on retrouve ainsi les équations (i5). Pour la développante de cercle il suffit de remplacer a par — et de faire // = o ; en appliquant la règle del'Hospital on trouve ainsi
x (rt-i-i)cosM — cos(n-t-i)«
-r = li ni = cos u -+- a sin u,
y ,. (/i + i)sinct — s\n(n -+- i)u
y = lini = sin u — u cos u .
La développante de cercle a donc pour équations (21) x = 6(cosa -+- u sin a), y = b(sinu — ucosu).
Définition tangentielle des épicycloïdes. — La distance du centre à la tangente a pour expression, dans le cas général,
( o -+- ia ) sin - = ( n -4- 2 )a sin x.
D'où l'on conclut, pour l'équation générale des tangentes à l'épi cycloïde,
(22) X sin « — r cos a — ( n -t- >, )a.siu a.
L'équation (22) peut toujours être identifiée avec la suivante : (23) .rsina — y cos a = A sin /va,
où A et /,- sont des constantes. Les paramètres n et a ont pour
valeurs
Il y aurait exception si l'on avait /, = 1 . Mais la droite désignée par l'équation (23) envelopperait alors le cercle ./•- -+- y- = V- <[iii est encore un cas particulier de l'épicycloïde. L'équation (2.3) représente donc, au point de vue tangentiei, l'épicycloïde la plus générale. Il est aisé d'en déduire une définition géométrique de cette courbe considérée comme enveloppe de droites. Supposons en effet qu'une droite mobile \) tourne uniformément autour de l'un de ses points V décrivant lui-même, d'un mouvement uniforme, un cercle de centre O et de rayon R. Cette droite mobile aura
