CHAPITRE IX. — CINÉMATIQUE DU PLAN. l
pour équation, en appelant a et (3 les angles de I) et de 0-\ avec ()X (fig. 7 V),
(X — R cos(i) sina — ( Y — R sinjî) cosa = o, X sin a — Y cosa = R sin( a — (3 ).
Mais d'après notre hypothèse les angles a ei [i sont évidemment
Fie. -").
ou
dans un rapport constant et l'équation précédente rentre dans la forme générale de l'équation (23). On est ainsi conduit au théorème suivant :
Théorème. — Toute épicycloïde est V enveloppe dune droite qui tourne uniformément autour de F un de ses points, tandis que celui-ci décrit, d'un mouvement uniforme, un cercle fixe.
\\. Déplacement d'un plan mobile sur un plan fixe. — Considérons enfin, comme dernière application, un plan p mobile sur un
plan fixe P. Un point M quelconque étant rapporté dans le plan mobile à deux axes rectangulaires ojy, ov et dans le plan fixe à
l(i| DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
deux axes OX, OY, ses coordonnées absolues XY et ses coordonnées relatives x, y sont liées par les formules générales
( X = a -+- x cos 0 — y sin 0,
| Y = o -)- a? sin 8 -\- y cos 8,
a, & et H étant des fonctions continues d'un paramètre t qui sera, si l'on veut, le temps écoulé depuis l'origine du mouvement.
Si le point M est attaché invariablement au plan mobile. #, y sont des constantes. Dilïerentions, dans cette hypothèse, les équations (24); nous obtenons
/ dX —r- = a'— (x sinO -f- jcos6)6' = a'— (Y — 6)0',
i d\ ^- = 6'-+-(a;cos8 — y sine)8'= &'-*- (X — a)6'.
Ces équations mettent en évidence l'existence d'un point (centre instantané) dont le déplacement est nul ou, plus exactement, infiniment petit par rapport au déplacement de tout autre point du plan ; les coordonnées absolues et relatives de ce centre instantané sont
a' sin 0 — b' cosO «' cosO h- b' sin 0
Ceci posé, imaginons qu'on ait pris pour origine des axes dans le plan mobile le centre instantané à l'instant t, et, pour axes fixes, les droites du plan P avec lesquelles coïncident en ce même instant les axes mobiles, en sorte qu'on ait, pour celle valeur de /,
les formules (24) et (25) se réduisent alors, pour un point quelconque du plan, à
dX. ,, d\
d OÙ
ce qui conduit au théorème suivant :
