CHAPITRE IX. — CINEMATIQUE DU PLAN. l
Théorème. — Les normales aux trajectoires des différents points du />l<ii> mobile passent toutes, à chaque instant, par le
centre instantané et le mouvement infiniment petit se réduit à une rotation autour du rentre instantané (').
Mouvement du centre instantané. — La su i le des positions occupées clans le plan mobile, par le centre instantané forme une courbe (C) et les équations (26) donnent les cordonnées a?, , y{ de chaque point de cette courbe en fonction du paramètre l; en diflférentiant ces équations il vient
dxx B" , . , ,, , . a" sin8 — 6"cos0
— - — — — 7-7^ ( a sin 0 — b cos 0 ) -+- a cos 8 -+- b si n 0
dt B'«v ' ' 8'
dy\ 8" . , . ,, . « , • a ,, „ «" cosO -i- b" sinO -■j— = — 7^-, ia cos 8 H-o si 118 ) — a sin8 -i- 6 cos Oh — >
il t ') - H
et, si nous passons aux axes réduits,
dx\ b" dv\ a
~dT = ~ 1P ' W = W
La direction de l'axe ox est actuellement encore indéterminée ; nous conviendrons de prendre pour cette direction celle de la tangente à la courbe engendrée dans le plan mobile par le centre instantané ce qui nous donne d'abord, au commencement de l'instant dt, a" = o. En outre nous pouvons convenir de prendre pour
variable t l'arc indéfini de cette courbe ce qui nous donne —7-^ = 1
^ dt
d'où b" = — H'. Les formules de réduction sont alors complétées
de la manière suivante :
De même la suite des positions du centre instantané dans le plan fixe est une courbe (C) qui est la base du mouvement et qui est représentée par les deux premières équations (26).
( ' ) Ce procédé de réduction, auquel nous aurons fréquemment recours par la suite, présente l'avantage de fournir, à chaque instant, une interprétation géométrique immédiate des résultats obtenus par le calcul ; il est évident d'ailleurs qu'on ne doit jamais appliquer les formules réduites qu'après avoir effectué les différentiations.
l66 DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
Ces équations différentiées donnent :
dt
El
dXi ,, a" , 8"
ou, en appliquant les formules de réduction,
d\i dt
d\} dt
La seconde met en évidence ce fait que les courbes (c) et (G) se touchent nu centre instantané. Pour interpréter la première désignons par T l'arc indéfini de la courbe (G). Si le contact a lieu intérieurement ( fig. 77) l'angle des tangentes aux deux courbes
dX,
est égal à o ; on a donc ^7^? — -+- 1 et par suite r/T = dt. Les arcs 0 d\ '
infiniment petits Oo', OO' sont donc égaux et par suite la courbe (c) roule sans glisser sur la courbe (C). Si le contact est extérieur {fie' 77) ces arcs sont alors égaux entre eux et disposés comme l'indique la ligure 78. llya donc encore roulement sans glissement
Fie. -s.
et l'on peut énoncer dans tous les cas le théorème sui\;mt :
Théorème. — Le déplacement continu le plus général d' un plan mobile p sur un plan fixe P se réduit au roulement sans glissement, cl une courbe mobile {lieu des centres instantanés
