IV. — Élément d'arc; cosinus directeurs de la tangente

5. Considérons sur une courbe (C), plane ou gauche, un arc AB, qui sera supposé parcouru par un point M dans un sens déterminé, par exemple de A vers B. Sur l'arc AB, marquons n — î points intermédiaires M| , M2, . . ., M^^^ , tels que le point M les rencontre dans l'ordre de succession de leurs indices lorsqu'il décrit l'arc AB dans le sens convenu. Menons les droites AMi, Mi M2, . . . , Mrt i B; nous formons ainsi une ligne brisée, inscrite dans l'arc AB, et dont le périmètre dépend évidemment du nombre et de la position des sommets M^.

Nous allons montrer que, quand le nombre des côtés de la ligne brisée croît indéfiniment, leur mode d'inscription étant d'ailleurs quelconque, sous la seule condition que la longueur de chacun d'eux tende vers zéro, les divers périmètres arrivent à différer aussi peu qu'on veut les uns des autres.

A cet effet, définissons la courbe (G) en coordonnées rectangulaires par les formules

D'après les hypothèses faites au Chapitre 1 sur ces fonctions, à

chaque position du point M(;r,y, z) sur l'arc AB correspond une valeur et une seule du paramètre u. Nous admettrons, en outre, que les valeurs de w, qui correspondent aux positions successives du point M entre A et B, aillent toutes en croissant ou toutes en décroissant; par exemple qu'elles forment une suite croissante. Soient donc

Ma < Ml < "2 < . . . < M/i-l < Ub

la suite des valeurs de u qui correspondent aux sommets de l'une d/gs lignes brisées inscrites dans l'arc AB. Le côté MrMr^i a pour longueur

Les fonctions /étant supposées admettre des dérivées, on a, pour chacune d'elles,

/( Mr-Hl ) —f(Ur) = ( Ur+i — W,.) [/'( W,.) -h £;.],

en désignant par £^ un terme qui tend vers zéro avec la différence (wr+i — Wr). Par suite, l'expression du côté Cr devient

le terme lOr pouvant être rendu aussi petit qu'on voudra, pourvu que l'intervalle (wr+i — Ur) soit suffisamment voisin de zéro. En conséquence, le périmètre de la ligne brisée AB sera

Or, quand chaque côté de la ligne brisée tend vers zéro, les différences (wr+i — Ur) s'évanouissent aussi; on sait que dans ces conditions les sommes 2^(2/^4.1 — Ur) tendent vers zéro. D'autre part, les dérivées/' étant par hypothèse continues, la fonction

est elle-même continue ; et les sommes

2 \//lHUr)-i-A^i,Ur)-^AHUr) ( «r-^i — U,.)

arrivent à différer aussi peu qu'on veut de l'une d'elles, qu'on re-

présente par le symbole

/ V^/iH")H-/;*(")H-/i*(w) du.

C'est la longueur mesurée par cette intégrale qu'on appelle la longueur de Vavc AB, ou plus simplement Varc AB.

D'après les propriétés connues des intégrales, l'arc compris entre un point fixe A et un point M variable sur la courbe est une fonction 5 du paramètre u qui correspond à son extrémité M; cette fonction est continue et admet une dérivée, qui est précisément la fonction soumise au signe de sommation ; on a donc

)+/iH")+/i'(")^",

\J élément d^arc, ou la différentielle de l'arc 5, sera représenté par les formules équivalentes

(..) j ^* = i/(l)Mî)Ml7''"'

( ds = ^dx^-h dy^-hdz^,

dont la dernière ne contient que les différentielles des coordonnées sans spécification de la variable dont elles dépendent. Pour une courbe plane, située dans le plan ^ = o, on aura

= / s/xi^y'idu.

ds = \Jdx^ H- dy^.

Si l'on applique la première de ces formules au cercle

a7 = RcosM, j^ = RsinM,

en comptant les arcs à partir du point w = o, on trouvera

résultat conforme à celui que fournit la Géométrie élémentaire.

Si, dans la seconde, on prend l'abscisse pour variable indépendante, il vient

y désignant la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse.

Remarque. — Tous les radicaux écrits dans ce paragraphe sont nécessairement pris en valeur arithmétique, parce que le sens dans lequel les arcs sont décrits par le point M est celui qui correspond à des valeurs croissantes du paramètre m. Il est évident que tous ces radicaux devraient être affectés du signe moins si l'on faisait l'hypothèse contraire. Nous ferons d'habitude la première; c'està-dire que nous compterons les arcs dans le sens où se meut le point décrivant lorsque le paramètre va en croissant.

6. Afin de ne pas interrompre notre étude générale des éléments du premier ordre, nous renverrons à un Chapitre ultérieur la détermination des arcs de certaines courbes, nous bornant ici à déduire de l'analyse qui précède une proposition et des formules importantes.

Théorème. — Le rapport d^un arc à la corde qui le soustend a pour limite V unité, quand cet arc tend vers zéro.

Soient, en effet, u ei u-{- h les deux valeurs de u qui correspondent à l'origine et à l'extrémité d'un arc; la longueur de cet arc est

£ tendant vers zéro avec A. La seconde expression de Cr (n® S), où nous ferons Ur = w, Mr+i = w 4- A, devient

fl tendant aussi vers zéro avec A. Or nous avons vu que, quand l'extrémité de l'arc se rapproche indéfiniment de son origine, h tend vers zéro. Dans ces conditions, il est visible que le rapport A5 : c tend vers l'unité, ce qui démontre le théorème.

Pour que notre conclusion soit valable, il faut toutefois que s'{u) ne soit pas nul. On est assuré qu'il n'en sera jamais ainsi

quand l'origine de l'arc sera un point simple. Car, en un tel point, les dérivées ^^,jkLî ^L ^^ ^^^^ P^^ nulles à la fois (Ch. I, n** 3).

7. Pour définir sans ambiguïté les cosinus directeurs de la tangente en un point M(^,j^, 5) d'une courbe, considérons celle des directions de la tangente qui va dans le sens des arcs croissants ; soient a, p, y les cosinus des angles que cette direction fait avec les axes Ox^ Oy, Oz. On l'obtient comme direction limite du segment qui a pour origine le point M et pour extrémité un point voisin M'(a: -h Ao:, y + Ay, ^ -f- A2), tel que Vaccroissement A5 qu'éprouve l'arc de la courbe quand le point décrivant passe de M en M' soit positif. Si l'on désigne par c le nombre essentiellement positif qui mesure la longueur de ce segment, on sait que ses cosinus directeurs ont pour valeurs algébriques

Aa? A^ Az

Ces expressions peuvent être écrites

Ao? A5 ^y A5 Az As ^ As c As c As c '

et, comme ici A5 et c sont positifs, le théorème précédent nous apprend que leur rapport tend vers + i quand c tend vers zéro; de sorte que les cosinus de la direction MM' deviennent, à la limite,

/ ,x dx f. dy dz

Tels sont, en grandeur et signe, les cosinus directeurs de la tangente menée dans le sens des arcs croissants. On peut indifféremment les considérer comme les rapports des diflférentielles des coordonnées à celle de l'arc ou comme les dérivées des coordonnées par rapport à l'arc pris comme variable indépendante.

Ces formules n'impliquent en aucune façon que le sens des arcs croissants soit celui qui a été spécifié au n** 5. Mais si, dans les relations

^' y ^' ±:s/x'^-^y'^-i-z'^ qu'on en déduit immédiatement et qu'on pourrait d'ailleurs poser

a priori, on veut choisir le signe qui cornaient au sens des arcs croissants, il faut se rappeler que la dérivée s' est positive ou négative suivant que s varie ou ne varie pas dans le même sens que le paramètre u. Dans le premier cas, on devra donc prendre le radical avec le signe plus; dans le second, avec le signe moins.