V. — Plan tangent; normale

8. Par un point d'une surface passent évidemment une infinité de courbes tracées sur cette surface; en effet, étant données les formules qui représentent cette surface

on peut, d'une infinité de manières, établir entre u et v une dépendance propre à définir une courbe, et cela de telle façon qu'à un certain couple (wq, ^o) corresponde toujours le même point (a:, y, z) de la surface. On aura ainsi déterminé sur la surface une infinité de courbes qui toutes passeront en ce point.

Théorème. — Les tangentes menées en un point simple d'une surface à toutes les couj^bes tracées sur cette surface sont situées dans un même plan.

Supposons, en effet, que dans les formules (S) les paramètres M et (^ soient des fonctions déterminées d'une variable indépendante t. Nous définissons ainsi sur la surface une courbe dont la tangente au point ^, j^, ^ a pour équations

/ rx X — x Y— y Z — z

les dérivées x\y' ^ z' étant prises par rapport à t\ leurs expressions sont liées aux dérivées u^ et t^' de m et ç^ par les formules

dx , àx , ou os?

, àz , dz , ou OÇ

Si donc on désigne par — p"4a valeur commune des rapports (1 5),

3o CHAPITRE II.

on pourra remplacer les équations de la tangente par les trois suivantes :

àx , dx ,

àu àv

/r, ^ àz . dz ,

^^ 'ou ov

Or, comme on peut toujours choisir les fonctions w et ç^ de telle sorte que leurs dérivées ne soient pas nulles pour la valeur de t qui correspond au point M{x, y, z)^ les trois équations ci-dessus entraînent cette autre

Ainsi, les coordonnées X, Y, Z d'un point quelconque d'une tangente menée par le point M vérifient cette équation qui, étant du premier degré, représente un plan. Elle ne peut, d'ailleurs, se réduire à une identité, Pun au moins des trois binômes

étant différent de zéro (Ch. I, n** S), puisque le point {pc^y^ z) est un point simple de la surface. Ce plan contient toutes les tangentes aux diverses courbes tracées sur la surface. On l'appelle le plan tangent à la surface en M.

On appelle tangente à une surface toute droite tangente à une courbe tracée sur cette surface, ce qui permet d'énoncer ainsi la propriété que nous venons d'établir : toutes les tangentes en un point simple d^une surface sont situées dans un même plan. Si donc on connaît deux tangentes particulières en un point simple M d'une surface, le plan tangent en ce point sera le plan déterminé par ces deux tangentes. L'équation (16) n'exprime pas autre chose. Elle représente un plan contenant les tangentes aux deux courbes coordonnées, v = const. ei u = const. qui se croisent au point (j:,j^, z)f cara:^,j^^, z'^^ et ût^ ^ yl ^ z^ sont respectivement les coefficients directeurs de ces deux tangentes.

Remarque. — De la propriété du plan tangent résulte immédiatement que la courbe dUntei^section de deux surfaces admet

ifiLÉMENTS ET PROPRIÉTÉS DU PREMIER ORDRE. 3l

pour tangente en chacun de ses points l'intersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point; car cette tangente est située à la fois sur les deux plans tangents.

9. Voici deux formes souvent usitées de Téquation du plan tangent. Si Ton prend pour variables deux des coordonnées, x^y par exemple, et qu'on pose z^jp = p^ Zy. = q, les coefficients de l'équation (i6) se réduisent respectivement à jo, 5^, — i et cette équation s'écrit

(17) Z-^=/>(X-^)-4-gr(Y-^),

que les axes soient d'ailleurs rectangulaires ou obliques. Mais, si la surface, au lieu d'être donnée par une équation résolue z=f(x^y)j est définie par

F(ar,jK,z) = o, on a, comme on sait,

de sorte que l'équation du plan tangent devient

(18) (X-^)Fi-+-(Y-^)Fi, + (Z-z)Fi = o.

En particulier, si le point (Xy y^ z) est à l'origine, cette équation se réduit à

aX-HÔY-f-cZ = 0,

a, 6, c étant les valeurs que prennent à l'origine les dérivées F^, F', F^; d'où cette règle : si une sur/ace F = o admet l'origine comme point simple, on obtient V équation du plan tangent à V origine en égalant à zéro l'ensemble des termes du premier degré dans le développement de la fonction F.

A l'équation (17) se rattache une propriété importante du plan tangent :

Théorème. — Le plan tangent en un point simple M d'une surface coupe cette surface suivant une courbe qui a un point double en M.

Transportons, en effet, l'origine au point M, et prenons pour plan des xy le plan tangent en ce point. Puisque le point M est

un point simple, la coordonnée ;; de tout point voisin de M sur la surface est développable par la formule de Maclaurin : on aura donc

z =piiX-\'qQy-^ —^ -'^ H-

Mais, puisque l'équation générale (18) du plan tangent doit se réduire à ^ = o quand on y fera x ^=y =^ z^=o, c'est que les dérivées p elq sont nulles à l'origine, /?o = yo = o. Alors l'équation de la surface se réduit à

^ roX^-^-'xsQxy^tQy^ , (19) z= h

Si Ton y fait z = o pour avoir la section déterminée par le plan tangent, on obtient une courbe pour laquelle l'origine est visiblement un point double.

A-insi, tout plan tangent à une quadrique coupe cette surface suivant deux droites (réelles ou imaginaires), car la section est une conique et présente un point double au point de contact.

10. On appelle normale à une surface toute perpendiculaire élevée sur Tun de ses plans tangents en son point de contact. En un point simple (m, v) la normale est unique. Ses coefficients directeurs, relativement à des axes de coordonnées rectangulaires, sont les coefficients mêmes de Téquation du plan tangent. Elle est donc représentée par l'un des trois systèmes

Yu^v ^iiYv ^u'^v '^u^v ^uXv yu'^v

X — x Y— jK 1 — z

suivant que l'équation du plan tangent a l'une des formes (16), (17) ou (18).