X-\-pY = x+py, on aura une relation de la forme

^■^py = ^{p)i

qui appartient au type ci-dessus. Pour une tangente

on sera conduit à une équation de Glairaut

Pour avoir l'întégrale générale d'une pareille équation, qui est aussi du type précédent, il suffit, comme on sait, d'y remplacer la dérivée p par une constante arbitraire C. De là une observation générale : on cherche une courbe dont les tangentes jouissent d'une certaine propriété et l'on trouve, pour intégrale générale de l'équation qui exprime cette propriété, une infinité de droites

(II) ^ = G^-h<p(G)

qui dépendent d'un paramètre arbitraire C. 11 n'y a point contradiction entre l'énoncé et ce résultat. On sait, en effet, que les droites dont l'ensemble constitue l'intégrale générale d'une équation de Clairaut ne sont pas les seules solutions de cette équation; mais que cette équation est vérifiée aussi par la fonction^ de la variable x que définissent les deux équations

j^ = Ga: + cp(G), x-^ cp'(G) = o.

A celte solution, appelée solution singulière, correspond une courbe (E) qui, nous le verrons au Chapitre suivant, est tangente à toutes les droites représentées par l'équation (i i). Cette courbe (E) est celle que l'on cherchait, puisque ses tangentes jouissent de la propriété assignée. Mais il faut expliquer pourquoi l'on a trouvé ces tangentes elles-mêmes comme solutions du problème proposé. Soit M le point où Tuoe de ces droites (D) touche la courbe (E); les coordonnées {oc^y) de ce point et le coefficient angulaire p de sa tangente (D) vérifient l'équation du problème. On peut d'ailleurs considérer cette droite (D) comme une courbe qui est à elle-même sa propre tangente en tous ses points ; comme l'équation du problème ne contient, par hypothèse, que les coefficients p et y — px^ qui ont les mêmes valeurs tout le long de la tangente (D) qu'au point M, on voit que les coordonnées de tout point de cette droite, ainsi que la dérivée p de son ordonnée, satisferont à l'équation considérée. Les tangentes à la courbe (E) doivent donc être des intégrales du problème; seulement la solution véritable du problème géométrique est fournie par la solution singulière de l'équation (îo).

Voici un exemple très simple de ce fait. Soit à trouver une courbe telle que le produit des distances de deux points fixes

F{y =zo, x = c) et F'(^ = o, œ= — c) à toutes ses tangentes soit une constante donnée b^. L'équation du problème est

(y — px)^ — p^ c^ = b^(i-hp^)'

On peut l'écrire

y =px ± \/b*-h {b^-h c^)p^.

Son intégrale générale est l'ensemble des droites

y = mx ± ^ô^-^{b'^-hc^)m^,

toutes tangentes à l'ellipse

qui est la courbe cherchée. Les points F et F' sont ses foyers.