VI. — Détermination de surfaces par des propriétés

du premier ordre.

H. Les propriétés des plans langents et des normales aux surfaces correspondent à des relations analytiques où interviennent des dérivées partielles du premier ordre. Si donc on cherche à déterminer des surfaces d'après une propriété assignée à ces éléments, on aura à intégrer une équation aux dérivées partielles du premier ordre.

Proposons-nous d*abord de trouver les sur/aces dont tous les plans tangents passent par un point fixe. Ce point étant pris comme origine, pour que tous les plans tangents

passent à l'origine, il faut et il suffit qu'on ait, en tout point

(a?, j^, z) de la surface

(21) px^qy ^- z.

Pour intégrer cette équation aux dérivées partielles, on lui associe

le système

dx dy dz

dont deux intégrales distinctes sont

, — = const., - = const.

L'intégrale générale s'obtient, comme on sait, en établissant une relation arbitraire entre ces deux intégrales

On trouve ainsi tous les cônes ayant pour sommet le point fixe. 11 est à peine besoin de faire remarquer que, l'équation d'un cône qui a pour sommet l'origine étant mise sous la forme

où F est une fonction homogène de :r, j', 5, l'équation du plan R. 3

langent en Tun quelconque de ses points se réduit à

XFiH-YF;,-^ZFC = o.

Or, si m est le degré d'homogénéité de la fonction F, on a, quel que soit le facteur X,

et les deux relations analogues pour F' et F^. Donc, le plan tangent au point de coordonnées àjc, Xy, \z est le même que pour le point {x^y^ z), c'est-à-dire que le pian tangent à un cône est le même tout le long de chaque génératrice.

Soit encore à trousser les surfaces dont tous les plans tangents sont parallèles à une droite. Cette droite étant prise pour axe des ^, je dis que l'équation F(x, j^, z) -- o de la surface ne doit pas contenir z. En effet, pour que le plan langent

soit en tout point parallèle à l'axe des 5, il faut et il suffit que la dérivée F^ soit identiquement nulle. On trouve ainsi tous les cylindres dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée. L'équation du plan tangent ne dépendant pas de z^ on voit que le plan tangent à un cylindre est le même tout le long de chaque génératrice,

12. Soit, comme autre exemple, à trouver les surfaces dont toutes les normales rencontrent une droite fixe. Cette droite étant prise pour axe des -s, si l'on écrit que la normale

rencontre cet axe, on trouve immédiatement

{'!'}.) pv — qx — o\

le premier membre de cette équation est le déterminant fonctionnel de z et de x*^ +^^« Son intégrale générale est donc

ÉLÉMENTS Kï PROPRIÉTÉS DU PREMIER ORDRE.

le symbole cp désignant une fonction arbitraire; elle définit toutes les surfaces de révolution qui ont pour axe la droite donnée. On pourrait arriver à la même conclusion par voie géométrique. Appelons (D) la droite donnée, M un point quelconque de la surface, et prenons pour plan de la figure le plan déterminé par M et (D); ce plan coupe la surface suivant une courbe (C) et contient, par hypothèse, la normale en M; il est donc perpendiculaire

Fig. I.

au plan tangent en M. Menons par M un plan perpendiculaire à (D); il coupe (D) en un point O et la surface suivant une courbe (P) dont la tangente en M est {n'^S^ Bem,) l'intersection du plan tangent en M avec le plan sécant lui-même; cette tangente MT est, par suite, perpendiculaire au plan de la figure. Si donc on joint OM, cette droite sera normale en M à la section plane (P), de sorte que chaque section de la surface par un plan perpendiculaire à (D) est une courbe dont toutes les normales concourent en un même point O, c'est-à-dire (n** 3) un cercle. La surface est donc engendrée par un cercle dont le plan reste perpendiculaire à la droite (D), dont le centre décrit celte droite et qui rencontre une courbe (C) : c'est la définition même des surfaces de révolution.

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