Une surface étant définie par les formules
x=fi{u,v), y^Mihv), z^/^{u,v),
nous avons vu (n° 8) que si Ton établit une dépendance convenable entre u et v^ ou si l'on considère ces deux paramètres comme des fonctions d'une nouvelle variable t^ les formules précédentes déterminent une courbe tracée sur la surface. D'après la théorie exposée au n** 5, l'élément d'arc ds de cette courbe sera donnée par la relation
où les axes sont supposés rectangulaires. Mais, si Ton porte les différentielles
dx = x'u. du -^ x^dv, dy = y^ du h- yl di, dz — z'^ du -4- ^zj, rfc,
dans l'expression précédente, on trouvera
( 23 ) ds^' = E du^ -^ 2 F du dv -\- G cA-2 ,
en posant, suivant les notations de Gauss,
Il faudrait encore remplacer du par u' dt et dv par ^' dt, mais 011 préfère laisser dans le résultat subsister ces différentielles. On a ainsi en (23) une forme quadratique par rapport à du, dv, qui représente la partie principale du carré de la distance de deux points voisins (?/, v)^ (u -h du^ r H- di^) sur la surface. Cette forme intervenant dans beaucoup plus de questions que sa racine carrée, c'est elle que nous appellerons l'élément linéaire de la surface (ou encore \^ première forme fondamentale relative à la surface). Ses coefficients E, F, G sont dits coefficients de Vêlement linéaire. D'après sa signification géométrique cette forme est toujours positive, du moins quand on ne considère que des points
réels de la surface et qu'on les suppose donnés par des valeurs réelles de u et de v. En effet, dans ces conditions, les coefficients Eet G sont positifs et le discriminant F- — EG est négatif en vertu de l'identité
Pour rappeler ce fait, on pose
(26) H2 = EG — F2, H = -f- v/ëG — F»,
en convenant que H représentera toujours la valeur arithmétique du radical.
Ce radical figure dans l'expression des cosinus directeurs a, 6, c de la normale à une surface. On a, en effet, d'après ce qui a été dit au n^ 10,
Yu^v — ^iiYv ^u^v ^u'^v '^uYv — yu^v
La valeur commune de ces rapports est égale, au signe près, à l'inverse de H. Nous choisirons la direction définie par les formules
(27) a= jj > 6= u , c= jj ,
que nous considérerons ultérieurement sous le nom de direction positive de la normale.
14. Cherchons le cosinus de l'angle o) que font entre elles les deux lignes coordonnées w = const., (^ = const. qui se croisent en un point de la surface. Si, dans la forme (28), on fait successivement rfç' = o et du = o, on voit que ^Ërfw et y/G dv sont respectivement les éléments d'arcs des courbes coordonnées v = const. et M = const. Les cosinus directeurs des tangentes à ces deux courbes sont donc
yu
On conclut
de là
costo
ynyv-^z'n
