EG

y/EG

Donc, pour que les courbes coordonnées se coupent à angle droit en tout point de la surface, il faut et il suffit que F soit identiquement nul. On dît alors que les lignes coordonnées sont orthogonales.

Plus généralement, considérons deux courbes passant en un point (w, r) d'une surface; pour chacune d'elles u et r seronl (n** 8) des fonctions d'un paramètre. Soient du, rfr, ds pour l'une, ow, Si^», 85 pour l'autre, les différentielles des coordonnées curvilignes et de l'arc. On aura

ds^ = Edu'^ -^ iF du dv -^ G dv^, 05« = E5a2-i-2Faa ot' -h G oi^^

Les cosinus directeurs des tangentes à ces deux courbes auront respectivement pour expressions

x'n du -+- x'^, dv y\^ du -h y',, dv ^'„ du ■+- zl dv

l = j j ni = j > /i = ; »

as as as

. x' ou -+- x*^ op y\. oa H- k[, 8*' z^ oa -»- V„ Oi' A = ^ » ;jL — ^r-^ , V — ^

tS OcV 05

L'angle xs de ces deux tangentes est déterminé par la formule

cosny =X/-|-[Jiw-f-v/i. En effectuant les. calculs on trouve

E du ùu -\- F (du ov -4- dv ou) -h G dv ov

(29) cosny =

ds 85

C'est Tangle rs ainsi défini que l'on appelle, pour abréger, l'ang/r des deux directions (du^ rfr), (om, Si).