TRAJECTOIRES ET ENVELOPPES; SURFACES DÉVELOPPABLES

1. On ne saurait faire l'étude d'une courbe ou d'une surface déterminée sans lui associer certaines familles de courbes ou de surfaces.

Une famille de courbes ou de surfaces est l'ensemble des courbes ou des surfaces représentées par une équation ou un système d'équations contenant un paramètre de plus qu'il n'est nécessaire pour définir entièrement une courbe ou une surface.

Ainsi, dans le plan, une famille de courbes pourra être représentée, soit par une équation

soit par un système d'équations

^ =/i (w, x), y =fi{u, t),

où T est un paramètre variable. A chaque valeur de t correspond généralement une courbe ou un nombre limité de courbes de la famille. Ainsi, les tangentes aux divers points d'une courbe plane forment une famille de droites; elles dépendent d'un paramètre, par exemple l'abscisse de leur point de contact. A chaque valeur t de cette abscisse correspondent autant de tangentes que la droite a: = T coupe de fois la courbe.

Dans l'espace, une famille de courbes sera représentée, soit par deux équations

conlenant un paramètre variable t, soit par trois équations

Tel est le cas des tangentes aux divers points d'une courbe gauche.

On voit que, dans r espace, les courbes d'une famille forment une surface; car l'élimination de t entre les deux équationsF^ = o, F2=: o donnerait une relation qui serait vérifiée par les coordonnées ^, j-, z de tous les points des diverses courbes de la famille. C'est ce qui résulte aussi des expressions de x, y, z où figurent deux paramètres u et t. En particulier, toute famille de droites forme une Surface, qu'on appelle surface réglée.

Une famille de surfaces est représentée, soit par une équation

soit par trois équations

^ =fi{u, P, t), y =f2{Uy V, t), z =/^(u, p, t),

contenant un paramètre variable t. Par exemple, les plans normaux à une courbe plane ou gauche forment une famille.

On appelle trajectoire d'une famille de courbes une courbe qui coupe toutes celles de la famille sous un angle constant; suivant que cet angle est ou n'est pas droit, la trajectoire est dite orthogonale ou oblique.