II. — Trajectoires d'une famille de courbes planes

2. Considérons d'abord une famille de courbes tracées sur un plan, rapportées à des axes rectangulaires et représentées par une équation de la forme

où T est un paramètre variable. Il s'agit de trouver sur chacune des courbes (F) un point M tel que le lieu de ces divers points coupe toutes les courbes de la famille sous un angle dont la tangente est donnée et égale à k. Les coordonnées (^, y) de ce point M sont évidemment des fonctions de t qui satisfont à l'équation (F). Soient :r',^' leurs dérivées par rapport à t; le coefficient

angulaire de la tangente en M à la trajectoire qui passe par ce point est le rapport yix'. Celui de la tangente à la courbe (F) en ce même point étant désigné par [a, on aura, par hypothèse,

[JL — -

ou, en éliminant [jl,

On est donc ramené à déterminer deux fonctions ^ et y de la variable t, qui satisfont à la fois à l'équation finie (F) et à Téquation différentielle (A*). Comme cette dernière est homogène par rapport aux dérivées x^ et j^'? si l'on peut éliminera entre les équations (F) et (A"), on arrivera à une relation de la forme

ou, ce qui revient au même,

Ce sera V équation différentielle des trajectoires cherchées. Mais, le plus souvent, l'élimination de t ne sera pas possible et l'on devra garder le système (F) et {k). Nous allons donner un exemple de chacune de ces circonstances.

Remarquons, au préalable, que, dans le cas des trajectoires orthogonales, l'équation (A") se réduit à

dx {jt F^

On formera l'équation différentielle des trajectoires orthogonales en éliminant t entre cette relation et l'équation (F).

3. Premier exemple. — Soit à trouver les trajectoires orthogonales des paraboles qui ont même axe et même sommet. Ici nous avons

(F) ¥ = y^—ipx = o,

et, en vertu de la remarque précédente,

L'élimination de p entre les équations (F) et (A ) donne

dy 7.x

dx y

Telle est l'équation différentielle des trajectoires cherchées. On

peut l'écrire