X dx - - y dy = o

Son intégrale générale est donc

ix'^- - y^ = const.

Elle représente une famille d'ellipses concentriques.

4. Second exemple. — Cherchons les trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de cercles ayant leurs centres sur une droite. Prenons cette droite pour axe des x\ soit r l'abscisse du centre G d'un des cercles; son rayon sera une fonction arbitraire de V, Soit donc

(i) (^ — vY-'-y'^—^T^ =o

l'équation d'une des familles considérées. La fonction V(p) dont la dérivée figure dans cette équation restant arbitraire, nous devrons chercher à déterminer séparément les coordonnées x et y des trajectoires cherchées.

La relation propre aux trajectoires orthogonales, donnée plus

haut,

v' Fv

devient ici

Pour intégrer les équations (i) et (2), nous égalerons ces derniers rapports à une nouvelle fonction inconnue — W~*. Nous

aurons ainsi

X = V — W^, x' = — Wj^'.

Si Ton differentie par rapport à (^ la première de ces formules 'en tenant compte de la seconde, on trouve Wy — ^1=0; on a donc

Substituons ces expressions dans l'équation des cercles; il vient

ce qu'on peut écrire

Si l'on désigne par Shw et Gh(o les sinus et cosinus hyperboliques de (1),

ohw = — j Gho) = y

qui satisfont, comme on sait, aux relations

Gh2to — Shîo) = I, -,— Glito = Sho), -f— Sho) = Ghw,

l'équation (3) a pour intégrale générale

W =: ±:Sh(V~c)

avec une constante arbitraire c. Par suite, les coordonnées des trajectoires orthogonales des cercles (i) ont pour expressions

dzi Sh(V-c)

V'Gh(V-c) V'Gh(V-c)

Dans le cas particulier où les cercles donnés ont tous le même rayon R, la fonction V se réduit à i^ : R et, si Ton pose

les formules précédentes deviennent

Elles représentent la même courbe, déplacée parallèlement à l'axe des x^ résultat évident a priori. Cette courbe, qui a la forme cidessous, est appelée tractrice ou courbe aux tangentes égales.

En effet, la tangente en chacun de ses points M va passer au centre G de l'un des cercles de la famille et, si on la limite à l'axe des x^ c'est-à-dire au point C, elle aura pour longueur R.

5. Supposons maintenant que les courbes dont on cherche les trajectoires soient définies par une équation différentielle

entre leurs coordonnées, supposées toujours rectangulaires. Dans la formule générale

nous n'aurons qu'à remplacer [jl, coefficient angulaire de la tangente à une courbe de la famille, par ^(^jJK) q^i ^ précisément la même signification, pour obtenir l'équation différentielle

dy — "^{x^ y^ dx dx-^^{x,y)dy

des trajectoires cherchées.

En particulier, pour les trajectoires orthogonales, k étant infini, il vient

dx ^{^^y)

C'est V équation différentielle des courbes de la famille^ dans

laquelle on a remplacé la dérivée par son inverse ^ changé de signe. En conséquence, si une famille de courbes est définie par l'équation différentielle

ses trajectoires orthogonales seront définies par celte autre

Soit pour exemple la famille de paraboles (p) y--^ivx — v^ =z o,

dont Téqualion différentielle est

,/dyY dy

Celte équation a ses deux racines y' inverses et de signes contraires ; elle ne changera donc pas si Ton remplacey'par son inverse changé de signe. C'est, par conséquent, aussi l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des paraboles {v). On s'explique ce fait en remarquant que par tout point du plan passent deux paraboles de la famille. Car, si l'on considère x et j^ comme des constantes données, l'équation {v) admet deux racines v^ et V2\ de plus, on a (^4 To = — y-. Or les coefficients angulaires des tangentes aux deux paraboles ont respectivement pour valeurs

En conséquence, on a y\y2 = — M c'est-à-dire que les deux paraboles de la famille qui passent par un point du plan s'y coupent sous un angle droit.

Il serait d'ailleurs facile d'intégrer l'équation différentielle cidessus, qui est une équation homogène. On trouverait, pour son intégrale générale, l'équation

{u) y^ -i- 1 ux — u- =^ o

qui ne diffère de l'équation (v) que par le nom de la constante arbitraire.