III. — Trajectoires orthogonales d'une famille de courbes
tracées sur une surface.
6. On a parfois à chercher les trajectoires orthogonales d^une famille de courbes tracées sur une surface. Supposons la surface rapportée à des coordonnées curvilignes {u^ v) et la famille de courbes définie par une équation
résolue par rapport au paramètre variable t. L'élément linéaire de la surface étant
ds^ = E é/wî-f- i¥du dv H- G ds>'^,
on a trouvé (Gh. II, n** 14), pour exprimer l'orthogonalité de deux directions (rfw, dv) et (3?/, 8i^), la condition
( 4 ) E du lu H- F (^w ôp -f- dv om ) -r- G dv op = o.
Soit {ou, hv) la direction de la tangente à Tune des courbes de la
famille w ==: t. On aura
ny^ 8a -h mj, oç» = o.
Si (rfa, dv) est la direction de la tangente à la trajectoire orthogonale qui passe par le point (m, t»), on aura l'équation différentielle de cette trajectoire en remplaçant 8m par xs^ et ùv par — xs\^ dans la condition (4). On trouve ainsi
{Em'ç— ¥xs'a)du-\- {¥xs'^,— GTs'„)dv = o.
Remarquons que, si la famille de courbes est définie par une équation différentielle
M 8m -i- N op = o,
il suffira de remplacer Zu et ûp respectivement par N et — M dans la condition d'ortliogonalité (4) pour obtenir l'équation
( EN — FM) rfw -h (FN — GM )dv=^o
des trajectoires orthogonales cherchées.
Dans le cas particulier où l'on veut avoir les trajectoires orthogonales des courbes v=^ const., on devra, dans la condition (4),
supposer 5i^ =r= o el 8w quelconque; par suite
E du -h F di^ — o
sera l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des courbes i> = const.
7. Exemple. — Considérons les droites qui rencontrent à angle droit une hélice circulaire et son axe. Ces droites forment une surface appelée hélicoïde à plan directeur, parce qu'elles sont toutes parallèles à un plan de section droite du cylindre qui porte l'hélice. Prenons pour plan des ^j^ l'un de ces plans; pour axe des z l'axe de l'hélice; pour axe des x la droite du plan 3 = qui rencontre l'hélice; pour axe des y une droite perpendiculaire à Ox, D'après sa définition, l'hélicoïde est engendré par une droite qui s'appuie sur O^ en lui restant perpendiculaire, et s'éloigne du plan xOy d'une longueur hv pendant qu'elle tourne de l'angle v autour de Oz. Les équations d'une génératrice sont donc
-- = tanfft', z = hv\
celles de la surface sont
Un calcul facile donne, pour l'élément linéaire,
On voit que le coefficient F est nul. En conséquence, l'équation des trajectoires orthogonales des génératrices {v ^= const.) se réduit à du = o. Son intégrale
u = v/j?* -^y^ = const.
représente tous les cylindres de révolution qui ont même axe que celui qui porte l'hélice. Les trajectoires cherchées, étant les intersections de ces cylindres avec l'hélicoïde, sont évidemment des hélices ayant même axe et même pas que l'hélice donnée.
Ce résultat était facile à prévoir sans calcul. Toutes ces hélices, en effet, se projettent sur le plan xOy suivant un cercle ayant l'origine pour centre; toute tangente à Tune d'elles se projette suivant une tangente à ce cercle. L'angle HMÏ, formé par Tune
de ses tangentes MT et la génératrice HM de l'hélicoïde, se projette donc suivant un angle droit Omt. Or son côté HM est parallèle au plan de projection xOy. Par suite, cet angle est droit et les hélices considérées sont bien les trajectoires orthogonales des droites considérées.
8. Remarque, — Toute famille de courbes tracées dans Vespace formant nécessairement une surface, le problème des trajectoires orthogonales d'une pareille famille est identique à celui qui vient de nous occuper. Mais, comme la famille de courbes peut être considérée indépendamment de la surface qu'elle engendre, nous opérerons directement la recherche des trajectoires orthogonales. Soit donc une famille de courbes représentée par les équations
(t) ^=/i('^'c), y=A(Uy'z)y z=f^{u,z).
Il faut trouver sur chaque courbe (t) un point M tel que le lieu de ces divers points coupe à angle droit toutes les courbes de la famille. Les coordonnées (x, y, z) de ce point sont des fonctions de T qu'on peut considérer comme représentées par les formules (t) sous la condition que u soit une fonction convenablement choisie de t. Si du désigne sa différentielle, les coefficienls directeurs de la tangente à l'une des trajectoires pourront êlrr pris égaux à
Èfidu+^i. d., P du + ^^ rfx, pdu+ "^p d-..
ou a- ou oz ou &z
tandis que ceux de l'une des courbes de la famille, t étant fixe,
sont
àfx dU d,h
du du Ou En exprimant l'orthogonalité des deux directions, on obtient
du ài
C'est, aux notations près, l'équation ErfM-i-Frfi' = o du n" 6.
Tout ce qui précède s'applique évidemment aux trajectoires d'une famille de courbes situées dans un plan : il n'y a qu'à supposer la fonction /g identiquement nulle.
