IV. — Enveloppe d'une famille de courbes

9. Etant donnée une famille de courbes tracées sur un plan, cherchons s'il existe une courbe qui soit tangente à toutes les courbes de la famille.

Supposons qu'il existe une pareille courbe, qu'on appellera courbe enveloppe; chacune des courbes de la famille

sera dite une enveloppée. Par hypothèse, chaque enveloppée présente au moins un point M tel que le lieu de ces divers points est une courbe qui la touche en M. Les coordonnées {x^y) de ce point M sont des fonctions de t qui satisfont à l'équation (F); soient ic' et j^' leurs dérivées. Le coefficient angulaire de la tangente est — F^.: F^. D'où l'équation

Mais si Ton différentie l'équation (F) en considérant x Qly comme des fonctions de t, on a

(5) 3r'Fi,-hyF;-4.F;=o.

lin vertu de cette identité, l'équation précédente se réduit à

Ainsi les coordonnées x^ y des points de l'enveloppe sont déterminées par le système (F), (e). En d'autres termes, une famille de courbes planes étant définie par une équation F(;r,^,T) = o qui dépend d^un paramètre x, pour déterminer V enveloppe de ces courbes quand elle existe, on associe à Inéquation de la famille son équation dérivée Fi=o.

Il est évident que l'enveloppe n'existe que si ces deux équations ne sont pas contradictoires. Même dans ce cas, il peut arriver que la courbe définie par le système (F), (e) soit non pas une enveloppe, mais un lieu de points multiples. En eflet, si, pour une succession continue de valeurs de t, l'équation (F) représente des courbes admettant un point multiple, les coordonnées de ce point R. 4

5o CHAPITRE III.

seront des fonctions de t qui satisferont à la fois aux trois équations

par suite, elles vérifieront, à cause de l'identité (5), les deux équations (F) et (e).

Nous n'insisterons pas sur les enveloppes des courbes planes, dont la théorie est élémentaire. Nous établirons seulement leur propriété essentielle, qui nous servira plus tard.

Théorème. — Uenveloppe d^ une famille de courbes tracées sur un plan est le lieu des positions limites des points communs à deux enveloppées successives.

En effet, les coordonnées des points communs à deux, enveloppées voisines satisfont aux deux équations

Ce système, visiblement équivalent au suivant

se réduit précisément, quand At devient nul, au système (F), [e) qui définit l'enveloppe.

10. D'après ce qui précède, il existe généralement une courbe tangente à une famille de courbes tracées sur un plan 5 nous allons voir qu'au contraire il n^ existe généralement pas de courbe tangente à une famille de courbes tracées dans l'espace.

Considérons une pareille famille définie par deux équations

(t) Fi(j?, 7, .s, t) = 0, ¥^{x, y, z,'z) = o.

Si l'enveloppe existe, les coordonnées de ses points M seront des fonctions de t qui vérifieront ces deux équations. Leurs dérivées x'^y, 2' pourront être prises pour les coefficients directeurs a, [j, Y de la tangente à l'enveloppe. Si donc on différentie les deu\ équations F^ = o, F2 = o par rapport à t, on aura les identités

ôFi „ ^Fi ^Fi ^F,

^ ' ^ ÔF^ ^ dF^ dF^ âF^

TRAJECTOIRES ET ENVELOPPES. 5r

Or, l'enveloppe est tangente en M à Tune des enveloppées, celle qui correspond à la même valeur de t que le point M; par suite, les coefficients directeurs a, p, y satisfont aux équations

dx ày ^ dz '

dx ày ^ dz

De ces équations et des identités (6) il résulte que les fonctions cherchées ^,jKî ^ clu paramètre t doivent vérifier non seulement les deux équations (t), mais aussi les deux équations dérivées

ôFi dFi

En conséquence, pour q a! une famille de courbes de Vespace^ représentées par deux équations

Fi(^» r, z, t) = o, Ft,{x, y, z, t) = o,

qui dépendent d^un paramètre t, admette une enveloppe, il' faut que ces deux équations et leurs équations dérii^ées

ôFi dFi

admettent des solutions communes en x^y^ z pour une succession continue de valeurs de t.

Il n'en est généralement pas ainsi, de sorte qu'il n'y a pas d'enveloppe. Quand le système ci-dessus se réduit à trois équations distinctes, il définit une courbe qui est généralement tangente à toutes les courbes de la famille {courbe enveloppe). Nous indiquerons, à propos des surfaces enveloppes (n° 15), un cas étendu où une famille de courbes tracées dans Tespace admet une enveloppe.

11. Nous allons supposer maintenant que les courbes de la famille considérée soient définies par trois équations de la forme

Les coordonnées x, y, z des points M de l'enveloppe sont des fonctions de t qu'on peut supposer représentées par ces trois for-

5a CHAPITRE 111.

niulcSy à conditioQ que u soit une fonction convenablement déterminée de T et réciproquement x une certaine fonction de u. Leurs dérivées, prises dans cette hypothèse et dans celle où t est constant, doivent avoir des valeurs proportionnelles, puisqu'il y a contact entre l'enveloppe et une enveloppée au point M. On doit donc avoir

dx dx dz dy dy dz ôz dz dz

au dz du du dz du du dz du

dx dy dz ^

du du du

équations qui se réduisent visiblement aux suivantes

L'enveloppe n'existera donc que si ces deux équations définissent pourx la même fonction de u. S'il en est ainsi, soit x = 'f (w) cette fonction; les équations

représenteront une courbe qui sera généralement tangente à toutes les courbes considérées.

Remarque /. — La solution que nous venons d'exposer convient aux familles de courbes tracées sur un plan et représentées par des équations de la forme

Il suffît de supposer la fonction f^ identiquement nulle; l'enveloppe est alors définie par les équations

^=fï{u,z), y=A(u,z), ^ = ZJE.

La condition d'existence de cette courbe disparaît avec le dernier des rapports (^).

Remarque IL — Si la famille de courbes est définie par deux de SCS cylindres projetants

les relations (7) entraîneront

Il faudra que ces deux équations donnent pour u^ c'est-à-dire pour z, la même fonction de t.