V. — Enveloppe d'une famille de droites

12. Supposons d'abord les droites représentées par les deux équations

(8) X r= az -^py y z=i bz-\-q^

OÙ a, t, /?, q sont des fonctions d'un paramètre t; d'après la remarque précédente, il faudra pour l'existence de l'enveloppe que les deux équations

donnent la même expression de z. Les dérivées des fonctions a^ b^p^ q devront donc vérifier l'identité

Alors les formules (8), jointes à l'équation

représenteront une courbe qui sera tangente à toutes les droites de la famille; car elle ne peut pas être un lieu de points multiples, la droite ne présentant pas de pareils points.

Si les deux fonctions a et 6 se réduisent à des constantes, les formules (9)' donnent pour z une valeur infinie. Il n'y a pas alors à proprement parler d'enveloppe. Mais, d'après l'hypothèse même, les droites de la famille sont parallèles à la droite fixe x = az, y z= bz. Elles forment un cylindre; on dit encore qu'elles ont une enveloppe, mais que cette enveloppe est rejetée à l'infini.

Soit maintenant une famille de droites représentées par les formules générales

(11) X ^\-\-\u, j^ = Tj-h[ia, z = Ç-i-vw,

OÙ Ç, y\, !^, ainsi que X, [x, v, sont des fonctions d'un paramètre t. Désignant leurs dérivées par des lettres accentuées, nous formerons les équations (7), savoir

. ^ $'H-X'm V+fx'M C+v'm

qui doivent donner la même expression de u. Pour exprimer cette condition, appelons p la valeur commune des trois rapports. Nous avons ainsi trois équations du premier degré en w et p qui doivent être compatibles. Il faut et il suffit pour cela que leur déterminant soit nul

(l3) 7)' fJL' {1 =0.

On aura l'expression cherchée de u en résolvant, par rapport à u et à p, deux des trois équations qui viennent d'être considérées. Dans le cas particulier où X, ix, v sont des cosinus directeurs, on a

X^H- jJl2-h V* = I, XX'-l- fXfx'-h vv'= O.

En tenant compte de ces deux identités, on tire aisément des rapports (12) la valeur de u

^'4) "-- x'^+fx'2^7^-

Sous la condition (i3) l'enveloppe existe; elle est représentée par les formules (11) où l'on remplace u par l'expression (i4)-

13. Définition, — Toute famille de droites forme, comme il a été vu au n** 1, une surface qu'on appelle sur/ace réglée, et dont les droites sont dites les génératrices. On vient d'établir que les génératrices d'une surface réglée n'ont pas en général d'enveloppe. On dit alors que la surface qu'elles forment est une surface gauche. Au contraire, lorsqu'elles sont parallèles entre elles ou toutes tangentes à une courbe, le lieu reçoit le nom de surface développable ; leur enveloppe est appelée arête de rebroussèment de la surface. Nous reviendrons dans la suite de ce Chapitre sur les surfaces développables. Remarquons seulement que, si l'arête de rebroussement est plane, la développable dégénère en

lin plan; si elle se réduit à un point, la développable est un cône, ■ou un cylindre si le point est rejeté à l'infini.