I. — Courbes planes ; point simple

1. Une courbe plane est, par définition, le lieu des points du plan dont les coordonnées cartésiennes (^,y) satisfont à une équation F(^,y) = o, la fonction F étant développable par la formule de Taylor aux environs de tout point (^o> J^o) où elle est nulle, sauf de certains points exceptionnels isolés.

Un point {xQ^yo) est A\i point simple à^xine coxxvheY {x^ y) =io si, aux environs de ce point, la fonction F est développable parla formule de Taylor et si, de plus, ses dérivées partielles du premier ordre ne sont pas nulles toutes les deux en ce point.

D'après cela, l'une des coordonnées de la courbe est une fonction continue de l'autrç aux environs de tout point simple. Soit, en effet, F^^^ o par exemple. On sait que l'équation

(I) o = F(^,jk) = (^-^o)F:,^+(j^-7o)F;^ + ...

définit, pour toutes les valeurs de x comprises dans un certain intervalle, une fonction y qui, dans tout cet intervalle, est déve- R. I

2 CHAPITRE PREUIER.

loppable suivant les puissances entières de x — Xq^ et qui, pour X =^Xq^ prend la valeur y^.

Il convient le plus souvent de définir une courbe comme étant le lieu des positions d'un point dont les deux coordonnées cartésiennes sont. des fonctions continues d'une variable indépendante u. Ces deux fonctions sont supposées développables par la formule de Taylor aux environs de toute valeur u comprise dans un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées. On dit alors qu'un point (^o>yo) est un point simple d'une courbe si les coordonnées de tout point de la courbe, situé à l'intérieur d'un cercle décrit de ce point comme centre avec un rayon déterminé, peuvent être représentées par un seul et même système de deux fonctions /< ( w), /^{u) qui, prenant respectivement les valeurs Xq et yo pour u = Uqj soient, pour des valeurs suffisamment voisines de Wo, développables en séries entières procédant suivant les puissances de u — Uq^

, ^ ( 3!^ =fi{u) = Xo-i- ai(U'- Uq) -h ai(u — Wo)*-l-...,

( y =fi{u) = yo-^ ài(u — uo) -h bi(u — Wo)2-h.. .,

et telles que leurs dérivées premières ne soient pas nulles toutes les deux pour u = Uq.

Ces définitions de la courbe plane et de ses points simples s'accordent avec les définitions précédentes. En effet, considérons une courbe représentée aux environs d'un point {xQ,yo) par l'équation (i) où Ton suppose F^^ ^ o. Nous avons vu que l'ordonnée y de cette courbe est développable en une série procédant suivant les puissances de x — Xq. Si donc on prend pour x une fonction arbitraire d'une nouvelle variable w, développable suivant les puissances entières de u — Wq, telle que la première des séries (2), la fonction y prendra la forme de la seconde des séries (2), et l'on peut évidemment toujours choisir pour x un développement où le coefficient a^ soit différent de zéro. Ainsi, les définitions qu'exprime l'équation (i) entraînent celles qu'expriment les équations (2).

Réciproquement, du système (2) où nous supposons par exemple a^yé.Oy on tire pour u — Wq ^"^^ fonction développable suivant les puissances de x — ^0 î si l'on substitue cette expression de u — Uq dans la série /2(^)) ^^ obtient pour jk une série procédant sui-

REPRÉSENTATION ANALYTIQUE DES COURBES ET DES SURFACES. 3

vant les puissances entières de ^ — x^. On a donc une équation de la forme

o = F(ar, j) = — (j^— j'j)-t-ci(a7 — a:o)-f-Ci(:r — a?o)*-h

qui rentre visiblement dans le type (i), le coefficient de jk — JKa au moins étant différent de zéro. Ainsi, les définitions qu'exprime le système (2) entraînent les premières.

Un point (^oî ^o) est dit point multiple d'ordre n d'une courbe ¥{x^y) = o si, aux environs de ce point, la fonction F est développable par la formule de Taylor et si ses dérivées partielles des n — I premiers ordres sont toutes nulles en ce point, mais non celles de l'ordre n.

' Dans ce cas, le développement (i) commence par des termes d'ordre n en ^r — Xq et y — yo. On sait que, quand il en est ainsi, on peut représenter tous les points de la courbe qui avoisinent le point (xo^yo) par un ou plusieurs systèmes de développements tels que (2), dans chacun desquels les coefficients a< et 6< peuvent être nuls tous les deux, et le sont nécessairement si un seul système de développements suffit.

2. Remarque . — On dit que les formules (2) fournissent une représentation paramétrique d'une courbe. D'une telle représentation, il est évidemment possible d'en déduire une infinité d'autres. Il suffit, en effet, de remplacer la variable u par une série entière par rapport à une autre variable f>, dont les coefficients seront quelconques. On aura ainsi de nouveaux développements

(3) a; = ^i(ç)^ y = Oi(ç)^

analogues aux formules (2).

Mais il arrivera fréquemment que, pour tout point (^oj^o) ^^ la courbe, les équations (3) admettront plusieurs solutions communes (^ = ç^4 , (^2) • • • » ^/2' Alors les coordonnées des points voisins de (^oî J^o) seront représentées par n couples de séries en- ^ tières procédant respectivement suivant les puissances de ç? — (^4, de (^ — (^2? •••? de i^ — ç^^; en sorte que tout point simple (^o>^o) perdra, en apparence au moins, le caractère d'un point simple. Il est visible en effet que, si les équations (2) n'ont qu'une solution

commune u = Uq pour x = Xq^ y =yo, et si l'on prend pour u un polynôme entier P(^) du degré n, les n racines Vi, i^^, . . . , i^n de l'équation P((^) = Wo seront communes aux équations (3) pour X = a?o, y =yo- Lorsqu'à tout point d'une courbe correspondent plusieurs valeurs du paramètre en fonction duquel ses coordonnées sont exprimées, on dit que l'on a une représentation impropre de cette courbe. On réserve le nom de représentation normale à celles qui ne font correspondre à chaque point de la courbe (sauf des points isolés bien entendu) qi£une seule valeur du paramètre. Il est évident qu'on peut toujours, quand le point (a?0, j^q) est un point simple, obtenir une représentation normale des points qui l'avoisinent par des séries telles que les séries (2), en procédant comme nous l'avons fait pour déduire ces formules de l'équation (i); en particulier, il suffira de prendre pour j? une fonction linéaire de u. Mais, même si l'on prend au hasard la fonction f\{u)j ce qui détermine la fonction /^(w)? les équations (2) auront une solution commune quand {x^y) sera un point de la courbe (i), et elles n'en auront généralement pas d'autre. Dorénavant, toute représentation paramétrique dont nous ferons usage sera supposée normale. Nous étendrons d'ailleurs cette qualification aux représentations paramétriques fournies par des fonctions périodiques, telles que celle du cercle

37 = R cos > r = R sin •

A un. point de la courbe correspondent des valeurs en nombre infini du paramètre; mais ces valeurs forment une progression arithmétique ayant pour raison la période w, en sorte qu*il n'y en a qu^une dans un intervalle égal à la période, intervalle où il suffit de faire varier le paramètre u pour obtenir tous les points de la courbe. Une pareille représentation est sans inconvénients et peut être traitée de représentation normale.