II. — Courbes de l'espace ; point simple

3. Une courbe de V espace est le lieu des points de l'espace dont les trois coordonnées cartésiennes (^,jKi -s) sont des fonctions continues d'une variable u\ on suppose ces trois fonctions

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développables par la formule de Taylor aux environs de toute valeur u comprise dans un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées. Rien n'empêche d'ailleurs que la courbe ainsi définie ne soit tout entière tracée sur un plan; dans le cas contraire elle est appelée courbe gauche.

On dit qu'un point (^oî^o» z^^) eslnn point simple à^ane courhe si les coordonnées de tout point de la courbe situé à l'intérieur d'une sphère, décrite de ce point comme centre avec un rayon déterminé, peuvent être représentées par un seul et même système de trois fonctions fi (m), /^{u), fz{u) qui, prenant respectivement les valeurs- ^q,j/'q, Zq pour u = Uq, soient, pour des valeurs suffisamment veisines de Uq, développables en séries entières procédant suivant les puissances de u — Wq,

(4) ^ y =f2(u) =yo-h bi{u — Uq) -\-bi{u — rto)^-!-...,

et telles que leurs dérivées premières ne soient pas nulles toutes les trois pour u=^ Uq.

Si, pour représenter tous les points de la courbe voisins de (^ojJKoî ^o)î il faut employer plusieurs systèmes de trois développements tels que (4), ou un seul système de cette forme, mais dans lequel «<, bi et Ci sont nuls tous les trois, le point (^ojJKoj ^o) est dit point multiple.

Voici la raison des diverses hypothèses que nous venons de faire. Sans qu'il soit nécessaire d'avoir défini ce que nous entendrons par le mot sur/ace, il est évident qu'une équation telle que (i) ou un système tel que (2), ne contenant que les deux coordonnées x. y^ représente tous les points de l'espace qui se projettent sur le plan des xy suivant une certaine courbe (C^); en d'autres termes, tous les points d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z. Si la section (C^) de ce cylindre ne présente que des points simples, aucune génératrice n'appartiendra à deux portions différentes du cylindre, tandis que, si deux branches de la section (C«) se croisent en un point M, la génératrice qui passe en ce point sera commune à deux nappes du cylindre. Cela posé, dans les équations (4) qui définissent une courbe (G) de l'espace, supposons par exemple C| ^z^o; on sait

qu'alors u est une fonction de z^ développable aux environs de ^q suivant les puissances entières de ^ — z^. Portons son expression dans les deux premières équations (4); nous obtiendrons deux équations, l'une entre x et -s, l'autre entre jk ^^ ^j savoir

r =ro -+- PiC-s — -5o) -+- ^2(4? — .so)' -+-. • -,

qui représenteront deux cylindres, l'un parallèle à l'axe des y^ l'autre à l'axe des x {cylindres projetants àe la courbe considérée); les directrices de ces cylindres seront les projections (C^) et (C^) de la courbe sur les deux plans j^ = o et a? = o. Or nous avons supposé expressément que tous les points de (C) voisins de M(^Q,yoj ^0) étaient représentés par le système (4); par suite, tous les points de (C^) et de (0^?), voisins des projections M^ et Mx de M, sont représentés par les deux équations ci-dessus, en sorte que chacun de ces points est un point simple (n® 1) pour la courbe dont il fait partie. Ainsi, la génératrice de (Gj^), qui projette le point M de (C) en M^, n'appartient qu'à une seule nappe de ce cylindre^ il en est de même pour la génératrice de (Gj.) qui projette le point M en M^. Dès lors, on voit que la courbe (G), qui est tracée à la fois sur ces deux cylindres, n'aura qu'une seule branche passant par le point M; c'est pourquoi ce point est dit point simple.

Si les formules (4) font correspondre, à tout point simple de la courbe (G) qu'elles définissent, une seule valeur de w, on dit qu'elles fournissent une représentation normale Ae (G); dans le cas contraire, la représentation est dite impropre.

i. Remarque. — D'après les définitions du point simple, que la courbe soit plane ou gauche, on voit que si deux points simples M et M' d'une courbe correspondent à deux valeurs infiniment voisines w et w + Aw du paramètre, la distance de ces deux points

est un infiniment petit du même ordre que Aw, puisque le second

membre, divisé par Am, tend vers y/aj -H 6? + cj, expression qui ne peut être nulle, l'un au moins des termes soumis au radical étant différent de zéro.

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