VI. — Surfaces enveloppes

14. Étant donné un système simplement infini Ae surfaces dont la forme et la position dépendent d'un paramètre variable t, ce <|ue nous avons appelé une famille de surfaces, on peut se demander s'il existe une surface qui soit tangente à toutes celles de cette famille. Mais la même question se pose aussi au sujet d'un système doublement infini de surfaces : on entend par là un ensemble de surfaces dont la forme et la position dépendent de deux paramètres. Dans le premier cas, on dit qu'il s'agit d'une enveloppe à un paramètre ; dans le second, d\me enveloppe à deux paramètres.

Considérons d'abord un système simplement infini de surfaces (S) et concevons qu'il existe une surface (S) qui les touche toutes, chaque point de (S) étant supposé être un point de contact avec l'une des surfaces (S). Uenveloppe (S) et chacune des enveloppées (S) seront nécessairement tangentes tout le long d^ une courbe. Car, si elles n'avaient de contact qu'en des points séparés les uns des autres par des intervalles finis, ces groupes de points, dont chacun dépend de la valeur particulière du paramètre à laquelle correspond la surface considérée (S), ne formeraient parleur ensemble que des courbes, en nombre fini ou infini, séparées les unes des autres par des intervalles finis, au lieu de recouvrir entièrement une surface, comme nous le supposons.

15. Théorème. — U enveloppe d^ une famille de surfaces est le lieu des positions limites des intersections de deux enveloppées voisines.

Admettons toujours l'existence d'une surface enveloppe (S)^ nous savons que (S) touche chaque enveloppée (S) tout le long d'une courbe (t). Considérons une suite continue de plans (P) dont chacun rencontrera la courbe (C), par exemple, la famille des plans normaux à cette courbe. Tout plan (P) coupe les enveloppées (S) suivant une famille de courbes planes (G), toutes

tangentes, par hypothèse, à la section (F) qu'il détermine dans l'enveloppe (S). Le point M, où il rencontre la courbe (t), est le point de contact de l'une des courbes (C) section de la surface (S), avec la courbe enveloppe (F). Ce point est (n** 9) la position limite d'un point commun à la courbe (G) et à la courbe voisine, quand celle-ci tend vers (C). En conséquence, la courbe (t), lieu de ses points M, est bien la position limite de l'intersection de l'enveloppée (S) et de l'enveloppée voisine.

Or il est certain que cette courbe limite existe en général sur chaque enveloppée. En effet, la famille étant représentée par une équation

qui contient un paramètre variable t, à deux valeurs t et T-f- At de ce paramètre correspondront deux surfaces qui, en général, se couperont suivant une courbe définie par les équations

F(x,jr,z,z) = o, F(x,y,z), T-hAT:)=o.

Ce système étant équivalent au suivant

F(x,yj z, T -h At) — ¥(x,y, z, t) r o, ~ o,

on voit que, quand At tend vers zéro, la courbe commune tend vers celle que représentent les deux équations

Nous appellerons cette courbe la caractéristique de la surface (S ) qui correspond à la valeur considérée de t. Le lieu des caractéristiques est une surface (S). Il suffit de considérer les sections faites dans cette surface et dans les surfaces (S) par les plans normaux aux divers points d'une caractéristique pourvoir qu'elle est tangente à chacune des surfaces (S) tout le long d'une caractéristique.

Pour établir analytiquement ce résultat, donnons à t une valeur fixe dans l'équation (i5). Le plan tangent en un point de la surace (S) ainsi obtenue est déterminé par les valeurs des coefficients /?, y, — I, dont les deux premiers satisfont aux équations

/>F;-i-Fi = o, qF\^ + F'y = o.

La surface (2) est représentée par l'équation F = o, dans laquelle T est censé remplacé par son expression en a:, jk? ^f tirée deF!p=o. Soient /?< et Çt les dérivées par rapport à a: et à j^ de la coordonnée z de cette surface. On aura, en appliquant le théorème des fonctions composées,

/>,F;-4-Fi-h(/>iTl4-':i)F;=o, Or, en vertu de Thypothèse F!f = o, ces relations se réduisent à

et déterminent le plan tangent à la surface (S) en l'un de ses points; si ce point est sur la caractéristique (i6) de la surface (S), qui correspond à la valeur considérée de t, les coefficients des équations qui déterminent/? et pi, q et q\ auront respectivement les mêmes valeurs numériques : la surface (2) et la surface (S) auront même plan tangent tout le long de la caractéristique, ce qui prouve que (S) est bien une surface enveloppe.

Cette conclusion tombe évidemment en défaut si les équations en/? et ^ se réduisent à des identités. En raisonnant comme nous l'avons fait (n** 9) pour les courbes enveloppes, on verra que la surface définie parles équations F = o, FI^= o contient les lignes singulières de toutes les surfaces de la famille, ou lignes dont tous les points satisfont aux trois conditions F^= F'y=F!, = o. Elle pourrait donc être un lieu de lignes singulières, non une enveloppe. Mais, d'ordinaire, ce sera une enveloppe.

Remarque, — Nous avons vu (n® 10) qu'en général une famille de courbes tracées dans l'espace n'a pas d'enveloppe, les quatre équations

Fi(a7,j^,>5, 'u) = o, F2(a7,^, 3, t) = 0, -rr = o, ■ v^ = ^