OZ

ne représentant pas une courbe. Mais, si cette famille est formée par les caractéristiques d'une famille de surfaces, les équations ci-dessus deviennent

P,, , dF dF d^F

Elles se réduisent à trois. Donc une famille de caractéristiques admet une enveloppe, tout au moins quand ces courbes ne présentent pas de point singulier.

16. Une famille de surfaces étant définie par trois équations

OÙ T est un paramètre variable, voici comment on déterminera leur enveloppe. Cette surface (S) pourra être représentée par les mêmes équations, à condition que t soit une fonction convenablement déterminée de u et v. Désignons par A, B, C les coefficients directeurs du plan tangent à Tune des enveloppées et aussi à Tenveloppe en un de leurs points communs; on aura, pour l'enveloppée,

et pour l'enveloppe, t dépendant ici de w, (^,

Aa7'^-4- By^-h c^;,-+- ( Aa^; -h b^;-+- g^; ) t'^ = o,

Aa:'^ -+- By^ -h G4 -^(Xx'^-h Bjk;-+- G^) -z'^ = o.

Ces deux systèmes d'équations devant donner les mêmes valeurs pour A, B, G, et t ne pouvant être indépendant de u et de t^, il

faut qu'on ait

Ax'^-\-By^-^ G4 = o.

Cette dernière relation, rapprochée des deux analogues, entraîne

ya

Telle est l'équation qui, jointe aux formules (17), détermine l'enveloppe des surfaces (17).