VII. — Surfaces développables

17. Nous avons précédemment (n° 13) appelé sur/ace développable toute surface lieu des tangentes à une courbe. On peut aussi définir la développable comme étant V enveloppe d^un plan dont la position dépend d\tn paramètre. En effet, la caractéristique d'un plan est une droite; les caractéristiques des divers plans de la famille forment elles-mêmes une famille de droites qui, en vertu d'une remarque antérieure (n° 15), ont une enveloppe, c'est-à-dire sont tangentes à une courbe ^ d'autre part, leur lieu est (n® 15) l'enveloppe des plans considérés. Par suite, Venveloppe d^un plan, dont la position dépend d^un paramètre, est le lieu des tangentes à une courbe, qui peut d'ailleurs se réduire à un point, situé à distance finie ou rejeté à l'infini. Ainsi notre seconde définition des développables entraîne la première. Pour établir l'équivalence des deux définitions, nous démontrerons la proposition suivante :

Théorème. — Toute surface lieu des tangentes à une courbe gauche est l'enveloppe d'un plan mobile dépendant d'un paramètre.

Etant donnée une courbe gauche, je vais prouver qu'il existe une famille de plans qui admettent ses tangentes pour caractéristiques. Les coordonnées x^y, z des points d'une courbe sont des fonctions d'un paramètre u. Je considère un plan passant par le point (^, y^ z). Il aura pour équation

A(X — a7)-hB(Y — j^)-hC(Z — ^) = o.

Si les coefficients A, B, C sont des fonctions de w, la position du plan variera d'un point à l'autre de la courbe. On obtiendra sa caractéristique en associant à l'équation précédente l'équation dérivée

A'(X — a7)-hB'(Y— ^)4-G'(Z — ^) — A:r'— By— 0^=0, où les accents désignent des dérivées prises par rapport à u. Pour

6o CHAPITRE III.

que cette caractéristique se confonde avec la tangente en {x^y^ z)

il faut que ses équations soient vérifiées quand on y remplace les binômes X — x, Y — y, Z — z respectivement par x\ y\ z' ; d'où les deux conditions

A ar'-h B y-\- Cz' = o, \'x' 4- By -h Cz' = o.

Si l'on difïérenlie la première en tenant compte de la seconde, on forme le système

Xx' -f- By -h Cz' = o, Aar'-+- 6^-4- Cz" = o,

d'où l'on déduit des valeurs proportionnelles à A, B, G. On peut prendre

A =y^'- 5>\ B = z'x'' — x'z\ G = x'y' — yx".

Par suite, le plan cherché a pour équation

X^x Y— jK Z —

Ce plan, qui jouera plus loin un grand rôle dans la théorie des courbes gauches, a reçu le nom àe plan osculateur; c'est le plan qui a pour caractéristique la tangente en chaque point de la courbe.

18. Remarque. — Le plan osculateur ne peut pas être indéterminé en chaque point d'une courbe gauche. Si l'on suppose, en effet, les équations

vérifiées pour toutes les valeurs de ^, on en déduit

et, en intégrant deux fois successivement,

TRAJECTOIRES ET ENVELOPPES. 6j

Gomme ici a, p, y, Xq^ jKoj ^o sont des constantes, il est prouvé par là que la droite est la seule ligne dont le plan osculateur soit partout indéterminé.

Remarquons aussi que si une courbe est plane, les plans osculateurs en ses différents points se confondent avec le plan même de cette courbe. Si, en effet, on suppose qu'on ait pour tous les points d'une courbe z = o et par suite aussi 5':= 3''= o, l'équation du plan osculateur (18) se réduit à Z= o, le binôme x^y — y' a;" n'étant pas nul, si la courbe n'est pas une droite,

19. D'après la définition même des surfaces développables , V ensemble des plans tangents à une développable forme une famille; en d'autres termes, le plan tangent à une dé\?eloppable ne dépend que d'un seul paramètre. Il nous suffira de traduire géométriquement et analjtiquement cet énoncé pour obtenir deux propriétés importantes des surfaces développables.

Théorème. — Le plan tangent à une surface développable est le. même tout le long de chaque génératrice.

On a vu, en effet (n" 14) que chaque enveloppée est tangente à l'enveloppe tout le long d'une caractéristique; ici l'enveloppée est un plan, l'enveloppe est la développable, les caractéristiques sont les génératrices.

Théorème. — Toutes les surfaces développables vérifient une même équation aux dérivées partielles du second ordre qui les caractérise ,

Par cet énoncé, il faut entendre que l'une des coordonnées, :?, de toute développable, considérée comme fonction des deux autres x et y, satisfait à l'équation du second ordre rt — s- = o.

En effet, l'équation du plan tangent à une surface au point {x^y^ z) peut être écrite

Z — pX — qY = z — px — qjr.

En général, les trois coefficienlsde cette équation /?, q^z — px — qy^ qui sont des fonctions de x et j^, ne se réduisent pas à des fonctions de l'un d'entre eux. C'est au contraire ce qui a lieu pour les développables. Nous avons donc à exprimer notamment que q est une fonction de p, 11 faut écrire pour cela que le déterminant

fonctionnel de /? et de ^ est nul, ce qui donne rt — s^ = o. Je dis qu'en vertu de cette condition le coefficient o) =^ z — px — qy est une fonction de p. On a, en effet,

et le déterminant fonctionnel de to et de /?

se réduit bien à zéro.

Il suit de là que toute surface qui vérifie l'équation rt — 5-= o est une développable; car, dans cette hypothèse, les trois coefficients/?, q^ 0) de son plan tangent sont fonctions de l'un d'eux, en sorte que ce plan tangent ne dépend que d'un paramètre.