VIII. — Enveloppes à deux paramètres

20. Nous ne considérerons parmi les systèmes doublement infinis de surfaces que ceux qui sont formés de plans. Cherchons s'il existe une surface (S) tangente à tous les plans (P) d'un pareil système.

Remarquons d'abord que cette surface (S), supposée exister, ne peut toucher chaque plan (P) tout le long d'une courbe. Car elle serait en particulier tangente tout le long d'une courbe à tous les plans d'une famille que Ton formerait en établissant une relation entre les deux paramètres du système doublement infini. Mais on a vu (n" 15) que, quand une surface jouit de cette propriété, elle est le lieu des caractéristiques de ses enveloppées. Or ici ces caractéristiques sont des droites, et des droites ayant une enveloppe, en tant que caractéristiques (n° 15). La surface (S) serait donc une développable; tous les plans (P), étant tangents à une développable, ne dépendraient pas de deux paramètres, mais d'un seul, contrairement à l'hypothèse.

Cela posé, soit un système doublement infini de plans (P), représentés par l'équation

(19) F = \x-r-By^Cz-hD = 0,

où A, B, C, D sont quatre fonctions données, mais quelconques, de

deux paramètres u et v. Nous venons de voir que l'enveloppe, si elle existe, ne touche chaque plan (P) qu'en des points isolés. Les coordonnées x^ y, z de l'un de ces points M sont donc des fonctions de u et i>^ qui devront satisfaire à l'équation F = o, et nous devrons exprimer que la surface (S) lieu de ces points est tangente en chacun des points M qui correspondent à un système donné de valeurs (u, <?) au plan (P) défini par ces mêmes valeurs. Or, si nous désignons par a, p, y les coefficients directeurs du plan tangent à la surface (S), on sait qu'ils sont donnés par les équations

Ces équations devront donc être vérifiées par les coefficients directeurs A, B, C du plan (P) considéré; d'où les relalions

Mais, si l'on difierentie l'équation F := o par rapport à u et p, on obtient les deux identités

Ax\, -h B/^ -^Cz'u-^ F;, = 0, Ax^-\- Bjk;. -h G4 + f;, = o,

qui, comparées avec les précédentes, montrent que x^y, z sont les fonctions de w et de p que définissent les trois équations

/ F = Ax H- B j -+-G2 H-D =0,

Il est aisé de voir que ces équations donnent généralement, pour chaque système de valeurs ^^, ç?, un point {x^y, z) et un seul. On peut, en efiet, réduire à l'unité l'une des fonctions A, B, C, en divisant tous les coefficients de l'équation du plan par l'un d'eux. Soit donc C = i. Les deux dernières équations deviennent

k\,x-hB'^y -h D;,= o,

a;, ir -f- b;, 7 -h D'^ = o.

Elles ne peuvent se réduire à une seule que si l'on a

Alors les trois fonctions A, B, D sont fonctions de Tune d'elles et les plans (P) ne dépendent que d'un paramètre. Dans le cas particulier où l'on a toujours

les équations proposées sont incompatibles. C'est le seul cas où il n'y ait pas d'enveloppe. En résumé, un système de plans représenté par une équation F = o dépendant de deux paramètres M, p, admet en général une enveloppe qiC on détermine en associant à l'équation F = o les deux équations dérivées

FL = o, f; = o.

21. Réciproquement, les plans tangents à une surface n'ont d'autre enveloppe que cette surface elle-même.

En effet, l'équation du plan tangent en un point (j:, y, s) d'une surface est

Egalons à zéro les dérivées de F par rapport k x eX. y^ qui jouent ici le rôle des paramètres u^ v. Nous aurons

Ce sont là deux équations linéaires et homogènes par rapport aux binômes X — a:, Y — y. Or le déterminant rt — 5^ n'est pas nul si le plan tangent dépend bien de deux paramètres, c'est-à-dire si la surface n'est pas une développable. Dès lors, ces binômes sont nuls et les équations qui définissent l'enveloppe donnent X = :r, Y =y, Z = 3. Les plans considérés n'ont donc d'autre enveloppe que le lieu de leurs points de contact avec la surface à laquelle il« sont tangents, qui est cette surface elle-même.

Si la surface est développable, ses plans tangents ne dépendent que d'un paramètre; la théorie précédente tombe en défaut. Mais nous avons vu précédemment que ces plans tangents n'ont pas d'autre enveloppe que la développable elle-même. Le théorème est donc vrai sans aucune restriction.