I. — Cercle de courbure ; centre et rayon
Directions principales.
1. Les coordonnées rectangulaires d'une courbe (C), plane ou gauche, étant supposées exprimées en fonction d'un paramètre w, le plan normal en un point simple M.(^x,y,z) a pour équation (Cliap. II, n°2)
La caractéristique du plan normal, ou droite polaire, est représentée par l'équation précédente et l'équation dérivée
(2) (X — ^)ar'-i- (Y —jr)y-i- (Z — ^)5''= a^'^-H^î-h y^
Les cosinus directeurs de la droite polaire sont proportionnels aux trois binômes
A ^y^"- z'y, B == z'x"—x'z\ G = xy — yaf,
qui figurent dans l'équation du plan osculateur, défini (Chap. III, n® 17) comme ayant pour caractéristique la tangente en M. Nous pouvons donc définir aussi le plan osculateur comme mené par un point M d'une courbe (C) perpendiculairement à la droite polaire de ce point.
L'intersection K du plan osculateur avec la droite polaire s'appelle le centre de courbure de la courbe (C) relatif au point M.
La droite qui va du point M au centre de courbure K est dite R. 5
normale principale de (C) en M. C'esl la perpendiculaire commune à la tangente et à la droite polaire.
Le cercle de courbure est le cercle décrit dans le plan osculateur, de K comme centre avec KM pour rayon.
2. Pour trouver les coordonnées X, Y, Z du centre de courbure, il suffît d'adjoindre aux équations (i) et (2) celle du plan osculateur
(3) A(X — :r)-f-H(Y-jK)4-G(Z — <5)--ro.
Le système ainsi formé a pour déterminant A^ -|- B--[- C*-^; il donne
\ — x \ —y Z — z __ x'^-h r'^-hz'^ ^■*^ Bz'—Cy ~ Cx'- a7 ~ Af—Bx' "" A2-+-132-hG» *
Le rayon II du cercle de courbure est déterminé par la formule
■R2 ~" (^'2+-y2^.^'2)j (\yZ-Bx'y-h{Bz'—Cy)^'^-{Cx'^Xz')^
qui, grâce aux deux identités
{Xy— Bx'y'-\- {Bz — cyy^-h {Cx'— \z')^ = (A«-f- B*-r- G»)(ar'2H-y2-4- vî) — {Xx'-h ey-h Cz'y-,
Xx'-^By-i- Cz'^-Oy se simplifie et devient
I A2-4-B2-hG2
RI (a:'»-+-/2-f-y*)î
Si l'on prend pour variable l'arc s de la courbe, les coordonnées X, y, z deviendront des fonctions de 5, par l'intermédiaire de u dont elles dépendent immédiatement; elles auront, en tant que fonctions de s, les mêmes propriétés qu'en tant que fonctions de w; et il en sera de même des cosinus directeurs a, p, y de la tangente menée dans le sens des arcs croissants; on aura donc
\ds= ^d-^^ -^d^, Bds = ydaL — oid-^, Cds = xd^ — ^doL
et, par suite,
^^) Ri= di^
Le numérateur du second membre n'est autre chose que
puisque la somme ol^ -^ ^'^ -{- y- est égale à l'unité; d'où ces expressions équivalentes
I doL^ -^ d^^ -h d-(^ / d^y (^lZY (d^zy
^^^ Ri" di^ "{jd^J '^[ds^J ^['ds^J
On peut déduire de la première une formule valable quelle que soit la variable indépendante. Il suffit, en effet, d'écrire
,., . , (4n'-(4)--(-'gy
(^> H«- di^
Ces diverses formules déterminent R par son carré. On confient de considérer R comme une longueur essentiellement positive et l'on prend
les deux radicaux ayant le même signe.
3. Dès lors, nous pouvons déterminer sans ambiguïté les directions principales, ou directions des trois droites rectangulaires qui forment, en chaque point d'une courbe, le trièdre principal, savoir: la tangente^ la normale principale et la binormale.
La tangente Mï, menée dans le sens des arcs croissants, a pour cosinus a, ^, y,
le radical qui représente 5' étant pris avec le signe plus, lorsque les arcs sont comptés (Chap. II, n® 7) dans le sens où le point M se déplace sur la courbe lorsque la variable u augmente.
La normale principale MN étant menée du point (ûo,y^z) vers le centre de courbure, ses cosinus a', j3', y' seront déterminés par les relations
(11) X-jc = a'R, Y-^=p'R, Z-^ = y'R,
rapprochées des formules (4) el (9). On trouve ainsi
Bz' — Cy Cx' — Az' Xz'—Cx' ^^'î^y2^yî^A* + B2-hG2
les deux radicaux ayant le même signe.
La binormale MB est la perpendiculaire au plan osculateur menée par le point M. Ses cosinus a", P", v" étant proportionnels aux coefficients A, B, C, on aura
el nous conviendrons de donner au radical le signe qu'il a reçu dans les équations (12).
En vertu de cette dernière convention et des relations (10), les formules (12) deviennent
Par suite, le déterminant
= «'(ï?^-Pï'') + P'(«t"-K)^y'(P«'-«?'0
est égal à +1, ce qui exprime, comme on sait, que le trièdre principal M, TNB a même disposition que le trièdre 0,XYZ des axes de coordonnées.
4. Tout ce qui précède s'applique sans nulle modification aux courbes planes; toute droite polaire étant perpendiculaire au plan de la courbe, ce plan se confond avec le plan osculateur. Le centre de courbure K est, par suite, la position limite du point d'intersection de la normale en M avec la normale infiniment voisine. On pourrait d'ailleurs le définir ainsi. Il est déterminé par les équations (i), (2) où l'on fait ;> = o. Alors A el B se réduisent à zéro;, les coordonnées (X, Y) du centre de courbure relatif au point {x, y) sont fournies par les formules
y' x' x^y^—yx"
et la relation qui définit le rayon de courbure devient Pour que R soit positif, on convient de prendre
x'^-hy'^y
ou, ce qui revient au même,
le radical étant affecté du signe que le calcul donne pour le dénominateur x'y — yod'. Dans le cas particulier où la variable indépendante est Tabscisse, on a
Les directions principales sont déterminées par les relations
le premier radical ayant le signe plus ou le signe moins, suivant que l'arc s et le paramètre u varient dans le même sens ou en sens contraires. Le second radical a le même signe que le premier ou un signe contraire, suivant que Texpression G = ^y — y' x" est positive ou négative. Ces règles résultent de celles qui concernent les formules (lo) et (12).
