II. — Rayon de courbure et rayon de torsion

5. Considérons sur une courbe plane ou gauche un arc MM| et les tangentes menées à ses deux extrémités dans le même sens, celui des arcs croissants parexemple. On appelle courbure de Varc Tangle des deux tangentes extrêmes; la courbure moyenne est le

rapport de cel angle à la longueur de l'arc; la courbure au point M est la limite vers laquelle tend la courbure moyenne quand le point M| vient se confondre avec M; le rayon de courbure en un point est l'inverse de la courbure en ce point.

La première de ces définitions répond à l'image d'une tige flexible, primitivement droite, et que l'on courbe plus ou moins en rapprochant ses extrémités. La seconde tire son origine de la propriété qu'a le cercle de nous paraître également courbé dans toutes ses parties : des arcs inégaux d'un même cercle n'ont pas la même courbure, puisque l'angle des tangentes extrêmes varie de l'un à l'autre; mais le rapport de cet angle à la longueur de l'arc correspondant est égal à l'inverse du rajon du cercle; il est donc le même pour tous les arcs d'un même cercle; d'autre part, de deux arcs de même longueur appartenant à deux cercles de raj'ons différents, celui qui nous paraît le moins courbé est celui qui apparlient au cercle de plus grand rayon. Quanta la troisième définition, elle implique un théorème, dont la démonstration nous fournira en même temps l'expression du rayon de courbure.

Soient a, ^, y; ai, Pi, y, les cosinus directeurs des tangentes à la courbe au point M et au point voisin Mi; soient cp l'angle des^ deux tangentes et Us l'arc MMi . Je dis que le rapport de cp à A5, ou, ce qui revient au même, le rapport de sin cp à A^ tend vers une limite bien déterminée quand A5 tend vers zéro. Dans la formule générale qui donne l'angle de deux droites

sin'«cp = (api-pai)2-4-(PYi — TPi)2+(Y«i-aTi)'' introduisons l'hypothèse actuelle

ai=a-4-Aa, ^j = p h- A,3, yi=ï+^Y;

puis, divisons par le carré de A5 ; il viendra

sin«? (g A|3 — p Ag)^ -+- ( p Ay — Y ^P)^ + (ï ^« — « ^y)V A*2 ~" A*2

Or, les cosinus a, j3, y ayant des dérivées (n® 2) par rapport à l'arc, ce rapport tend vers une limite

Rî "~ ds^ '

C'est la formule (6) de l'article précédent. Donc, le rayon de courbure est égal au rayon du cercle de courbure. On peut aussi écrire

H2 ds^

6. Au lieu des tangentes en deux points voisins M et M|, considérons les plans osculateurs. L'angle i^ de ces deux plans est ce qu'on appelle la torsion de l'arc MMi. La limite vers laquelle tend le rapport de la torsion de l'arc MM, à sa longueur est la torsion de la courbe au point M. Le rayon de torsion T est l'inverse de la torsion.

L'angle A a même sinus que l'angle des binormales en M et en M, . Les cosinus de la binormale étant a", P", y", le calcul qui vient d'être fait donnera pour le carré de la torsion en M la valeur

( 20 ) tî;- = r- *— •

^ ^ T2 ds^

Proposons-nous d'exprimer la torsion au moyen des dérivées des coordonnées x^ y, z.

Les coefficients directeurs des binormales en M et en M, étant A, B, C; A|, B,, C,, l'angle ^ de ces deux droites sera donné par la formule