AB,-BA,)2+(BG,-GB02..^,(CA,-AC
Remplaçons A<, B,, C| par leurs valeurs
Ai = A-f-AA, Bi = B-hAB, Gi = G-f-AG;
puis divisons par le carré \s^ de l'arc MM, et passons à la limite ; il viendra
! ( AB^— Bky -^ ( BG^- GB^)2 -\- ( CA^— ACy T« ~ (A2-hB2-hG2)2 '
les accents désignant des dérivées. Or, en effectuant les calculs, on trouve
AB — BA^ BG^- GB^ GA^— AG^ Z X y
Aa?'"-HBy"-f- Gz".
La valeur commune de ces rapports est le développement d'un déterminant que nous aurons souvent à considérer
jf"
de là résulte Texpression cherchée
T^ (A»-+-B2-hG*)î
On voit que le rayon de torsion, qui n'est déterminé qu'au signe près, s'exprime rationnellement en fonction des dérivées des coordonnées, ce qui n'a pas lieu pour le rajon de courbure. Il dépend comme A des dérivées troisièmes, tandis que R n'en dépend pas. Pour le déterminer complètement, nous conviendrons de prendre
/ ox I —A
D'après cela, le signe de la torsion est indépendant du sens dans lequel on compte les arcs; puisque la dérivée de l'arc n'intervient pas dans son expression. La propriété géométrique à laquelle ce signe correspond sera étudiée à la fin du Chapitre suivant.
Remarque, — Le plan osculateur étant le même en tous les points d'une courbe plane, la torsion d^ une courbe plane est nulle en tous ses points. Réciproquement, si une courbe a sa torsion constamment nulle, elle est plane. En effet, l'évanouissement du déterminant A exprime qu'il existe une relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les fonctions x\ y, z' ; c'est là une conséquence du théorème général sur lequel repose la théorie des équations différentielles linéaires. L'intégration de
cette relation
Ix'-r- my' -\- nz' = o
donne, avec une nouvelle constante/?,
Ix + my -{- nz -\-p = o,
ce qui est l'équation d'un plan. Le théorème est ainsi établi.
Nous démontrerons encore que les courbes dont la courbure est constamment nulle sont des droites. En effet, les équations A= B = G = o qui, en vertu de la formule (9), expriment cette hypothèse, reviennent à
yz- z'f = o, z'x"^ x'z" = o, x'f -^v'x" = o.
Une intégration immédiate donne
X y z abc
a, b, c étant trois constantes. Intégrant une fois de plus, on trouve
x — xq y — xo 5j-j3o abc
formules qui représentent une droite. Nous avons implicitement supposé que les courbes cherchées étaient réelles.
III. — Expressions diverses de la courbure des courbes planes.
Exemples.
7. Voici diverses expressions du rayon de courbure des courbes planes, que nous obtiendrons directement.
Si l'on désigne par e l'angle que la tangente MT en un point d'une courbe plane fait avec une direction fixe, la définition de R donne, au signe près,
as
r^ Employons d'abord des coordonnées rectangulaires ^, y, et soit X la variable. On a alors
£ = arc tangj', ds — /i -hy'^ dxy et il vient
C'est la formule (16)' déjà trouvée autrement (n** i).
2** Rapportons maintenant la courbe à des coordonnées polaires, /', 6. L'angle e de la tangente MT avec l'axe polaire a pour
74 GBAPITRE IV.
expression + V, V étant l'angle que fait MT avec le rayon vecteur, et qui a pour cotangente la dérivée logarithmique r'i r de r par rapport à 6. On a donc
ds = \Jr^ -H r'2 ^6, £ = f- arc tang -, ,
d'où, en effectuant les calculs,
Si Ton introduit l'inverse z du rayon vecteur r, on a
£ = — arc tanff -, ,
d'où la formule plus simple
3° La longueur /? de la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente MT étant rsinV, il suffit d'éliminer rfO entre les équations
^ ds , r d^
û^e 4- a V ° dr
pour trouver
rcosVe/5 rdr rdr
~" sinV<ir-h rcosV û^V ~~ û^(rsinV) ~ û?/? '
formule qui intervient dans certaines applications.
4" Chercbons encore le rayon de courbure d'une courbe (E) définie comme enveloppe de la droite
(27) ^ coscp -h j^ sincp = /?,
p étant une fonction donnée de l'angle cp. A l'équation (27) adjoignons (Ch. III, n®9) l'équation dérivée
(28) — 37 sincp -H j^cos(p =/>'.
Le système ainsi formé détermine les coordonnées x^ y de la courbe (E) en fonction de cp. Or cet angle est celui que fait avec l'axe des x la normale à cette courbe ; il a même différentielle que l'angle de la tangente avec Ox\ il suffit donc, pour avoir le rayon
COURBURE ET TORSION. — PROPRIÉTÉS DE COURBURE. j5
de courbure, de diviser rélément d'arc ds par d'f, ce qui doilne
les dérivées étant prises par rapport à (f . Différentions les équations (27) et (28) en considérant maintenant :r et jk comme des fonctions de (f et en tenant compte de ces équations elles-mêmes ;
nous trouvons
a?'coscp -h^ sincp = o,
— a;' sin^ -H^'coscp =/? -h/?'';
d'où, en faisant la somme des carrés, on déduit, au signe près.
De cette formule, on peut tirer celle que nous venons d'établir autrement. Ajoutons les équations (27) et (28) membre à membre après les avoir élevées au carré; il vient
Diflerentiant, nous trouvons
rdr . „.dp
d'où l'on conclut immédiatement
R = —, dp
en tenant compte de la relation (29). ^
8. Avant de donner des exemples des formules précédentes, nous allons en déduire une relation qui lie le rayon de courbure à la longueur que nous avons appelée normale (Ch. Il, n** 2) et dont nous préciserons ici la définition. Tout point de la normale en M(^, j^) peut être représenté par les formules
pour les points situés du même côté de M que le centre de courbure, / est positif; pour les autres il est négatif. Nous appellerons normale en M et nous représenterons par N la valeur algébrique
de / qui correspond au point où la normale rencontre Taxe des x\ nous aurons donc
Or les cosinus a', P' de la normale sont définis (n®3) en grandeur et signe par les relations
y -otR,
(|uand X est la variable indépendante. Par suite, il vient
Cette égalité, qui a lieu en grandeur et signe, ne tardera pas à nous servir.
9. Cherchons maintenant les expressions des rayons de courhure de diverses courbes usuelles.
Coniques, — L'équation de ces courbes
y — v/aa7* — i^x -\- Y, différeutîée deux fois par rapport à x^ donne
y yZ
On déduit de là le rayon de courbure
K = Ji
Tl
(Jr, si Ton élève au cube les deux membres de l'équation (3o), on trouve, en tenant compte de l'expression générale de R^,
-jkV;
mais, pour les coniques, on a j^y = ay — p-, en sorte qu'il vient
Ainsi le rayon de courbure dUine conique à centre est proportionnel au cube de la normale, limitée à un axe de sjmétrie. Supposons que ce soit Taxe focal qui coïncide avec Taxe des x. Si l'on prend pour origine le foyer de gauche, qu'on appelle e l'excentricité, p le paramètre (ordonnée au foyer) l'équation de
la conique sera
x^-{- y^= {ex -\-py\
son identification avec l'équation générale ci-dessus donne
d'où résulte p* — ay==/>2. En conséquence, le rayon de courbure est égal au cube de la normale limitée à Vaxe focal y divisé par le carré du paramètre.
Parabole, — L'énoncé précédent est valable pour la parabole, que caractérise l'hypothèse a =:= o; mais on arrive à un résultat plus simple en limitant la normale à la directrice. La courbe étant rapportée à sa directrice, prise comme axe des x^ et à son axe de symétrie, son équation est
On en déduit successivement
Pour comparer le rayon de courbure à la normale, rappelons la
formule (3o)
A raison des valeurs actuelles dej^^, y et^", son second membre se réduit à — 2. Ainsi, le rayon de courbure de la parabole est double de la normale limitée à la directrice, et il est dirigé en sens contraire; ce qui donne un moyen simple de le construire.
Cycloïde. — La cycloïde décrite par un point M d'un cercle de rayon a, qui roule sur l'axe Ox, est représentée par les équations
X = a(u — sinu), y = a(i — cosm).
L'angle u étant le double de celui que la tangente en M à la cjcloïde fait avec l'axe des y, le rayon de courbure aura pour expression
ds du
Mais on sait que la normale en M à la cycloïde se confond avec la droite qui joint le point M au point de contact N du cercle générateur avec O^r, base de la courbe; le segment MN ou la normale limitée à la base est donc la corde de l'angle u dans le cercle
générateur, et a pour longueur 2 a sin -• Donc, le rayon de cour-
bure d une cycloïde est double de la normale limitée à la base, et il est dirigé dans le même sens, vu la forme de la courbe.
Fig. 3.
Pour établir ce résultat au moyen des seules équations de la courbe, remarquons que la formule (3o) peut s'écrire
^ yy d / dy\
— - = -^-^ ,, =y-T- (arc tang-/- )
R i-f-y^ "^ dx\ ^ dx J
Mais des équations de la cycloïde on déduit
dx du
dy U dy Tz u
-f~ = cot - j arc tane -f- = ,
dx 2 ^ dx 1
ce qui donne
du\i ij
conformément à ce qui vient d'être trouvé.
Chaînette, — La chaînette est définie par l'équation
l'axe des x est sa base^ la longueur a ^on paramètre. En différenliant^ par rapport à a:, on trouve
d'où résulte l'expression du raj'on de courbure
y" ~ CL
Les relations précédentes donnent i m médiatenientj^y=i-i-j^'2, <le sorte que la formule (3o) devient R=: — N. Donc, le rayon de courbure de la chaînette est égal à la normale, limitée à la base, et il est dirigé en sens contraire. On voit aussi sur l'expression de R que V ordonnée de tout point de la chaînette est moyenne proportionnelle entre le paramètre de la courbe et son rayon de courbure en ce point.
Fig. 4.
D'après cela, le segment MU, projection de l'ordonnée sur la normale, est égal au paramètre. Si donc on projette le pied P de l'ordonnée en L sur la tangente, le segment PL sera constant et égal au paramètre. Cherchons maintenant la longueur s de
l'arc AM; l'expression trouvée pour i -r- y''^ donne 5'= -^= aj^'.
8o CHAPITRE IV.
Intégrant depuis j: =: o, on trouve s ^= ay. Or, c*est précisément là le côté LM du triangle MLP, puisque PL égale a et que l'angle en P a pour tangente y'. Donc, l'arc de la chatnetle, compris entre le sommet et un point M, est égala la projection de V ordonnée de M sur la tangente en ce point,
Lemniscate . — Cette courbe a pour équation en coordonnées
polaires
r = a/cos26.
Calculant la dérivée logarithmique de /• par rapport à 6, nous trouvons (n** 7, 2")
cotv — — = ,-> sinv = , = COS2O,
/• C0S2D Jpl^f't
Or la distance p du pôle à la tangente au point (r, 6) étant égale
à rsinV, il vient
p -- r COS2O = a cos* -26.
Appliquant la formule Kdp ^== rdr^ nous trouvons
r. a d(cosi^) a <^*
Ainsi, le rayon de courbure de la lemniscate varie en raison inverse de son rayon vecteur.
