IV. — Détermination de courbes planes par des propriétés

du rayon de courbure.

10. Le rayon de courbure étant un élément du second ordre, si Ton cherche les courbes dont le rajôn de courbure a une relation donnée avec, des éléments du premier ou du second ordre, on sera conduit à intégrer une équation difTérentielle du second ordre. Voici des exemples où la solution n'exige que des quadratures.

COURBURE ET TORSION. — PROPRIÉTÉS DE COURBURE. 8l

Problème. — Trouver toutes les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel à une puissance de la normale. 11 s'agit ici de la normale N limitée à Taxe des x\ nous avons trouvé

Nous généraliserons la question proposée en supposant R de la forme AN 4- âtN", ce qui donnera l'équation du second ordre

i-^y^)=\.hy-\-ky^{\-^y^) * \y\

Cette équation ne contenant pas la variable x, on l'abaisse au premier ordre en introduisant l'inconnue auxiliaire y =z p et éliminant la différentielle dx au moyen de la relation dy =z p doc \ il vient ainsi

dp i4-/>* ^^ ^ "^

ce qui est une équation de BernouUi pour la fonction y» Par deux quadratures on en déduira y en fonction de /? ; on tirera ensuite x de la relation dy=^pdx au moyen d'une troisième quadrature. Les deux coordonnées des courbes cherchées seront ainsi exprimées en fonction du paramètre/?, qui est le coefficient angulaire de la tangente.

Nous étudierons seulement quelques cas particuliers.

i" Le rayon de courbure est proportionnel au cube de la normale, — Elevons au cube les deux membres de la formule (3o)

i-^y'^ puis remplaçons N^ par kK\ nous aurons

ou, en mettant pour R- sa valeur connue,

k^-y^y^^^yZp^

Séparant les variables et intégrant, on trouve

—. = const. = c.

Remplaçons p par dy \ dx^ résolvons par rapport à dx et intégron s ; nous aurons successivement

dx = — > ck{x — Xq) = ^cky- -f- k.

On trouve ainsi des coniques admettant faxe des x comme axe de 5ym^^r«e. Les paraboles ne sont pas exclues; on les obtiendrait en faisant c = o avant la dernière intégration. Ainsi, la propriété signalée au début du n** 9 est caractéristique des coniques.

2° Le rayon de courbure est proportionnel à la normale. — Dans la formule (3o) faisons R r=/:N; il viendra