I -+-^'2 1 -+- jpî dy
Séparant les variables et intégrant, on trouve
h (3i) 7(1-^/?*)* = const. = - •
Je
Si /c = — 2, nous tirons successivement de là
dx = -— ' — 9 y-icy — c2
(x — Xoy — 'icy — c-.
Cette équation représente toutes les paraboles ayant pour directrice Vaxe des x; la propriété trouvée au n" 9 est donc caractéristique de la parabole.
Si A" = +2, l'équation (^3 1), où Ton remplace c par 4 <^î donne
dx= ^^^
sj'iay—y'*-
Il suffirait d'intégrer pour avoir x en fonction de y\ mais il est préférable de remarquer qu'on peut écrire
dx =yd arc cos f i — — J
équation que Ton peut remplacer par les deux suivantes
y = a{i — cosa), dx = jr du = a(i — cosu)du;
intégrant la dernière, on trouve
X — Xo= a{u — sin w).
Les expressions que nous venons d'obtenir pour yelx sont celles qui définissent (n° 9) une cycloïde dont le cercle générateur roule sur V axe des x.
Si A* = -f-i, l'équation (3i), après changement de c en 2a, donne successivement
dx = -^ -^ , x — XQ=^a^ — y^.
On trouve ainsi tous les cercles ayant leur centre sur Ox^ résultat qui était facile à prévoir.
Si A* = — I, l'équation (3i), rendue rationnelle, devient
c2 \dx)
Au lieu d'en tirer rfj? et d'intégrer, remarquons que cette équation est vérifiée par la fonction
/ X — Xn X —
Elle représentera donc toutes les chaînettes ayant pour base Vaxe des x^ ce qui complète un résultat trouvé au n° 9.
11. Problème. — Trouver toutes les courbes dont le rayon de courbure est une fonction donnée, soit de la distance de la tangente à un point fixe, soit du rayon vecteur.
Soient M un point d'une courbe, r sa distance à l'origine, p la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente en M; le rayon de courbure R en M a pour expression (n" 7)
dp
Supposons d*abord que R soit une fonction donnée de p] nous
aurons
?' cir
dp
= f{p). r^=iff(p)dp.
Le problème revient donc à trouver les courbes dans lesquelles p est une fonction connue de r. Soient 6 Tangle que fait le rajon vecteur OM avec un axe issu du pôle O, et r' la dérivée de r par rapporl à 8. On obtient aisément la formule
En égalant p à une fonction de r, on arrive à une équation de la
forme /''= ?('')? qu'on intègre par une quadrature.
Supposons maintenant que R soit une fonction donnée de r\
on aura
rdr
Tirons dp et intégrons, ce qui donne
rrdr
nous sommes ramenés à la question qui vient d'être résolue. Considérons par exemple le cas où R varie en raison inverse
du rayon vecteur :
rdr a*
dp 3r L'intégration conduit à
/.3 — a'^p ^ const. = 6^.
Remplaçons/? par son expression (Sa), puis résolvons par rapport à r'; nous serons finalement ramenés à l'intégrale
<|ui est une intégrale hyperelliptique. Dans le cas particulier où l'on prendrait b = o, on aurait simplement
/rdr r dz
en posant r'^ = a^z. Cette équation donne s=cos2(6 — 6o)î on trouve ainsi des lemniscates toutes égales à la lemniscate r^ =z a^cosiH^ ce qui s'accorde avec un résultat antérieur (n°9); mais on voit que la lemniscate n'est pas la seule courbe dont le rajon de courbure et le rayon vecteur aient un produit constant, puisqu'elle correspond à une valeur particulière de b.
