V. — Équations intrinsèques des courbes planes

12. On appelle équation intrinsèque d'une courbe plane la relation qui lie son rayon de courbure à son arc. Cette dénomination est motivée par la propriété suivante :

Théokème. — Une courbe plane est entièrement déterminée de forme lorsqu^on donne V expression de sa courbure en fonction de son arc.

En effet, de l'équation

où la fonction <p est supposée donnée, on déduit l'angle e que la tangente menée à la courbe à l'extrémité de l'arc s fait avec une droite fixe prise pour axe des x :

Connaissant e en fonction de 5, on appliquera les formules

dx dy

—— = cos£. -7- = sins, ds ds

démontrées antérieurement (Chap. II, n^ 7) et qui donneront

a? = I cos(/-h £0) ds, y = I sin(/-i- So) ds. Si l'on représente par Ç et r^ les deux intégrales

l(s)= I cos/{s)ds, r^(s)= I sin f (s) ds.

86 CflAPITRE IV.

par Xq et ya deux constantes arbitraires, on voit qu'on aura

a: = aro-4- ï coseo — i] sinôo, y=y(i-\-\ sin6o-4-Tj cosso.

Ces formules, qui résolvent entièrement le problème, sont identiques aux formules de transformation des coordonnées; elles ne représentent pas autre chose que la courbe x = S(^), y = ^»(^)î déplacée dans son plan, d'une manière tout à fait quelconque puisque ^o»^o ^t ^o sont arbitraires; mais la forme de cette courbe est parfaitement déterminée.

En conséquence, si l'on connaît une courbe satisfaisant à une équation intrinsèque donnée, on peut affirmer que c'est la seule. Ainsi, dans le plan :

la droite est la seule courbe qui ait son rayon de courbure

infini; le cercle est la seule courbe qui ait son rayon de courbure

constant, mais fini; la chaînette est la seule courbe vérifiant V équation intrinsèque

Nous avons vu, en effet (n" 9), que le rayon de courbure, l'ordonnée et Tare de la chaînette sont liés par les relations

d'où résulte visiblement la proposée.

Pour démontrer directement l'un de ces résultats, il suffira d'effectuer, sur la fonction particulière cp(5) qui aura été donnée, les intégrations par lesquelles nous avons établi le théorème précédent. Ainsi, soit donné R = const. = a. On aura successivement

/ds ^ s — ^0 a ~ a ^

/, r s — Sq .s — Sq cos t as = I cos as = Xn -h a sin j J a a

/j r . s Sq j s *o sin ôds = I sin as = yo — a cos >

d'où l'on déduit immédiatement l'équation

(a; — a7o)2 -h (jK — ro)^ = û^-S

qui représente tous les cercles de rayon a.

Exemple. — Soit donnée l'équation intrinsèque R^+^^^iG a-. On en tire

/ds .s , .

= arn sin --— ^ s=^asint.

Il est commode ici de conserver e comme variable auxiliaire, ce qui donne

a? =ï= / cosz ds — ^a j cos^s dt = a(2e -t- sinae), y = I sint ds = fia j sins coszdt = a( — i — cosae).

Si maintenant on remplace 2£ paru-f- w, on trouvera, abstraction faite du signe dey et d'une constante ajoutée à Xy les formules qui représentent (n** 9) une cycloïde.

Remarque, — Il est à peine besoin de faire observer qu'une courbe plane est entièrement déterminée de forme quand on donne son rayon de courbure et son arc, exprimés en fonction d'une variable auxiliaire. C'est ce qu'il serait bien aisé de démontrer.