III. — Surfaces; point simple

5. Une surface est, par définition, le Heu des points de l'espace, dont les coordonnées cartésiennes (^, J^, z) satisfont à une équation Yi^x^y^ z) == o, la fonction F étant développable par la formule de Taylor aux environs de tout point (:ro,yo? ^o) où elle est nulle, sauf de certains points exceptionnels, isolés ou formant des suites continues isolées.

Un point (^Oî JKo> ^o) est dit point simple d'une surface F(j;,j^, <3)=:o si, aux environs de ce point, la fonction F est développable par la formule de Taylor et si, de plus, ses dérivées partielles du premier ordre ne sont pas nulles toutes les trois en ce point.

Il suit de là que l'une des coordonnées de la surface est une fonction continue des deux autres aux environs de tout point simple. Soit, en effet, F^^ ^ o par exemple. On sait que l'équation

(5) o = F(^,^,^) = (:r-:ro)F;.^-h(^-j^o)F;,-+-(^-^o)F;^-f-...

définit, pour toutes les valeurs de x Çi\ y comprises dans un certain domaine, une fonction z qui dans tout le domaine est développable suivant les puissances de x — a?oetdej^ — y^^ et qui, pour o: =: Xo, y =^y(i^ prend la valeur ^o-

Dans beaucoup de questions, il convient de considérer une surface comme étant le lieu des positions d'un point dont les trois coordonnées cartésiennes sont des fonctions continues de deux variables indépendantes w, v^. Ces trois fonctions sont supposées développables par la formule de Taylor aux environs de tout couple (m, v) appartenant à un certain domaine, sauf de certains couples exceptionnels, isolés ou pouvant former des suites continues isolées. Si Ton considère w, v comme les coordonnées d'un point figuré dans un plan auxiliaire, les développements seront supposés possibles aux environs de tout point de ce plan, sauf de certains points isolés, ou formant dans ce plan des suites isolées.

On dit alors qu'un point (^o? J^oj ^o) est point simple d'une surface si les coordonnées de tout point de cette surface, situé à l'intérieur d'une sphère décrite du point (^oj^oj'^o) comme

centre avec un rayon déterminé, peuvent être représentées par un seul et même système de trois fonctions de deux paramètres

(6) x=fx{u,v), y=f^{u,v), z=zfz{u,v),

qui, prenant respectivement les valeurs ^oî^o» ^o pour m= Mq, v^ Çq^ soient, aux environs du couple (mo, ^o)? développables en séries entières procédant suivant les puissances de w — w© ^^ de p — Poj

(7) iP =/i(m,(^) = a7oH-ai(M — Mo) -^ ^iCt^ — t-'o) -^•••^

(9) -2=/3(w, <0 = ^0-f-«3(M — Mo) -H ^sC^' — t'o) -+-•••)

et telles en outre que les déterminants fonctionnels

ne soient pas nuls tous les trois pour u = Uq^ v = Vo.

Ces définitions des surfaces et de leurs points simples s'accordent avec les définitions précédentes. Considérons, en effet, une surface représentée aux environs d'un point (^^cyo? -^o) par l'équation (5) où l'on suppose F^^^o. Nous avons vu que la coordonnée z de celte surface est développable en une série procédant suivant les puissances de a? — Xq et de^ — yo

(5/ ' z = zo'^cL(x — xo)-^^y—yo)'+-

Si donc on prend pour x et y deux fonctions de u et ^ développables sous les formes (7) et (8), en les substituant dans l'expression (Sy de 5, on obtiendra un développement de la forme (9) et l'on pourra choisir les deux fonctions ^ et y de telle façon que l'un au moins des trois déterminants

aibi — «2^1, «2^3 — ^3^2» ct^bi — «1^3

soit différent de zéro ; car, si l'on pose en particuliers = u, y = i^^ le premier de ces déterminants se réduit à l'unité. Ainsi, les définitions qu'exprime l'équation (5) entraînent celles que nous avons données ensuite.

Réciproquement, partons des équations (7), (8), (9) où nous supposerons, par exemple, ai &2 — b\<^2T^ o. Les deux premières définissent deux fonctions m, ^ qui se réduisent respectivement

REPRÉSENTATION ANALYTIQUE DES COURBES ET DES SURFACES. Q

à Uq et (^^ pour ^ = ^0? y=yo et qui, dans le voisinage de ce point, sont développabies par la formule de Taylor

M = Mo + ai(a: — a?o) H- Pi (^ —yo ) -^ • • • ,

Portant ces valeurs dans la série (9), on aura z développé suivant les puissances de x — x^ et dey — yo; c'est là une équation de la forme (5),

o = ¥(Xy y,z) = —(z — Zq) h- a(x — Xq) -f- b^y — y^) +. . . .

Déduite de formules qui, par hypothèse, représentent tous les poiiits de la surface voisine de (^o>J^o? ^o)? cette équation les représente tous également, de sorte que le point est un point simple de la surface, puisque l'une au moins des dérivées partielles de F est différente de zéro en ce point, F^^ se réduisant à — i . Ainsi, les définitions données en second lieu pour une surface et ses points simples entraînent celles qu'exprime l'équation (5).

Un point (^o?J^o>-^o) est dit point multiple d'ordre n d'une surface F= o si, aux environs de ce point, la fonction F est développable par la formule de Taylor et si ses dérivées partielles des n — 1 premiers ordres sont toutes nulles en ce point, mais non celles de l'ordre n.

Dans ce cas, le développement (5) commence par des termes d'ordre n en x — x^^ y — y^ ei z — Zq, On sait que, quand il en est ainsi, on peut représenter tous les points de la surface qui avoisinent le point (^o? J^o? ^0) p^ir ^^ ^^ plusieurs systèmes de développements tels que (7), (8), (9), dans chacun desquels les déterminants

«1^2 — ^î^i, ct^bi — ci^bij cL^bi — ai 63

peuvent être nuls tous les trois, et le sont nécessairement si un seul système de développements suffit.

6. Voici comment on est conduit à la représentation para^ métrique des surfaces que nous venons d'étudier. On peut considérer une surface comme engendrée par une courbe, variable de forme et de position. Or, une telle courbe est représentée par trois équations du type (6),

(6) a?=/i(M, p), y=fi{u,v), z=fz{u,v)\

ear, l'un des deux paramètres, i? par exemple, étant fixé, si l'on fait varier u, le point (a?, j^, >3) décrit une certaine courbe et, suivant les valeurs qu'on attribue successivement à ç>, cette courbe se déplace et se déforme. Elle engendre une surface qui est représentée par les formules (6), et nous avons indiqué un moyen théorique de former l'équation cartésienne de cette surface aux environs de chacun de ses points simples. L'élimination de w et c^ entre les équations (6) peut être conçue comme effectuée, mais elle n'est presque jamais nécessaire. Ces paramètres ont reçu le nom de coordonnées curvilignes, qui rappelle qu'à toute valeur attribuée à l'un d'eux correspond une courbe tracée sur la surface. Les deux systèmes de courbes coordonnées a = const. et (^ = const. constituent par leur ensemble ce que l'on appelle un réseau.

7. Remarque . — Il existe évidemment pour toute surface une infinité de représentations paramétriques; car une surface peut, d'une infinité de manières différentes, être considérée comme engendrée par une courbe variable de forme et de position, et, à chaque mode de génération, correspond un système de coordonnées curvilignes. Mais il suffit d'en connaître un pour en déduire d'autres en tel nombre qu'on voudra. 11 suffît, en effet, dans les formules (6), où les fonctions y^, /2, fz sont supposées connues, de remplacer u et ç par deux fonctions arbitraires de deux nouveaux paramètres u' et p', pour obtenir un nouveau réseau de courbes coordonnées m'= const. et i^'= const.

En procédant ainsi, on substituera généralement à une repré^ sentation normale une représentation impropre. Supposons que les formules (6) fournissent une représentation normale d'une surface, c'est-à-dire qu'à tout point simple (^oîJ^oj^o) corresponde un seul couple (wo, (^o)- O^i fait le changement de variables

Si les fonctions cp et <t prennent respectivement les valeurs Uq et Vq pour u' = u^^ ('' = t^',,, et si aux environs de ce couple chacune d'elles est développable par la formule de Taylor, les équations (7), (8), (9) donneront pour x, y, z des séries entières en u' — u'q et p' — v'q. Mais, étant donné un point simple (^oîJ^oj ^0)

RBPRÉSEPÏTATION ANALYTIQUE DES COURBES ET DES SURFACES. II

delà surface, c'est-à-dire un couple unique (wo»^o)î l^s équations (lo) lui feront généralement correspondre plusieurs couples

(^^0» ^'o)î {^\ » ^4 )? • • • ' ^^^' pour M = 2^0 et ^ = (^o? elles représentent dans le plan des u! v' deux courbes qui, d'ordinaire, se coupent en plusieurs points. Ainsi la représentation (m', v') sera généralement impropre. JNous avons vu d'ailleurs (n®5) que, connaissant l'équation cartésienne d'une surface, on peut en déduire une représentation paramétrique qui sera généralement normale aux environs de tout point simple, et le sera sûrement si l'on prend pour u et ç deux des coordonnées convenablement choisies. Ainsi, l'on peut toujours supposer les équations (6) telles qu'à tout point simple de la surface corresponde un seul couple {uj v).

Nous n'emploierons dorénavant que des représentations normales. Mais il importe de remarquer qu'une telle représentation peut ne pas se prêter également bien à l'étude de toutes les parties d'une surface, en cessant par exemple d'être normale pour certains points simples. Tel est le cas des formules

a? = sinM cosf', j/' = sin m sin t^, z = cosa,

qui donnent tous les points de la sphère

quand u varie de zéro à u et ^ de zéro à 211, et qu'on peut considérer à ce titre (n°2) comme fournissant une représentation normale; pour le point x=:y=:o^ ^ = i on voit que u est nul, mais c est absolument indéterminé.

8. Exemples* — Nous allons rapporter les quadriques à leurs génératrices rectilignes. Considérons d'abord l'hyperboloïde

On peut remplacer son équation par l'un ou l'autre des deux systèmes

Ces quatre équations se réduisent à trois; en les résolvant par rapport à x^y^ 5, on trouve

X Mt>-h I

et l'on voit que les courbes u = consl. et les courbes v = const. sont les deux systèmes de génératrices rectilignes. Pour le paraboloïde hyperbolique

la résolution des deux systèmes concordants

[ X Y [ X Y iz

>/p yjq ^ l ^p s/q

donne la représentation paramétrique suivante

où le réseau des courbes coordonnées u = const., p = const. est formé des deux systèmes de génératrices rectilignes.