I. — Différentielles des cosinus des directions principales
1. Il convient, dans beaucoup de questions relalives aux courbes, de recourir diux formules fondamentales de M. Frenet, qui font connaître les difierentîelles des cosinus des directions principales, et que nous allons démontrer.
Pour trouver celles qui concernent la tangente, écrivons les équations qui représentent la droite polaire quand l'arc est pris pour variable indépendante :
la première est celle du plan normal et la seconde s'en déduit par différentiation. Ces équations montrent que le plan (i)' est perpendiculaire au plan normal (i). Par suite, la normale principale, qui est perpendiculaire à l'intersection de ces deux plans et située dans le plan (i), est perpendiculaire au plan (i)'. On a donc
I d% i rfS i «?Y .
â' d^ ~f dl ~Y ^ "
en désignant par h la valeur des rapports égaux. Tirons les dérivées de a, p, Y pour les substituer dans l'équation (i)'; il vient
d'où, ayant égard aux relations (ii) du Chapitre précédent, on
conclut AR=i, et, par suite, les formules
^^ ds "" R' ds ~ R' ^5 ~ R*
Eq vue d'obtenir les différentielles des cosinus de la binormale, rappelons-nous que la tangente est la caractéristique du plan osculaleur. Nous pourrons la définir par les deux équations
dont la seconde s'obtient en différentiant la première et représente un plan perpendiculaire au plan osculateur (2). Ce plan, appelé plan rectifiant, coupe le plan osculateur suivant la tangente. Ainsi la normale principale, qui est perpendiculaire à la tangente et située dans le plan osculateur, est perpendiculaire au plan rectifiant. On a donc la suite de rapports égaux
a' ds P' ds ~~ y' ds
dont la valeur commune est, au signe près, égale à la torsion, en vertu de la formule (i5)du Chapitre précédent. En prenant la torsion même pour les représenter, on attribue un signe à cette grandeur et l'on trouve les formules
^'__a' dj__^ drf__i
• ^ é/5 ■" T' ds ~ 1' ds ~ T'
Mais, si l'on veut déterminer l'expression algébrique de la torsion, il faudra reprendre le calcul fait au Chapitre précédent (n^o), ou procéder comme nous l'indiquons plus bas (n" 2, Rem, II).
Il nous reste à trouver les dérivées des cosinus directeurs de la normale principale. Partons de la condition
qui lie les cosinus directeurs a, a', c/!' de l'axe Ox par rapport aux droites MT, MN, MB. On en tire, par différentiation,
, dx dd „ doL"
ds ds ds
d'où, en tenant compte des formules des deux premiers groupes, /un ^-^^ ^'-.â&.' ^^l l'
^ ^ ds ~ R T' ds ~ R T' ds " K T'
Les deux dernières relations se déduisent de la première par sjmétrie. Ainsi se trouvent établies les formules fondamentales de la théorie des courbes. Nous allons les transcrire ensemble, en n'écrivant que la première de chaque groupe :
doL a'
di'
d'x'' ol'
ds ~ R'
ds
ds T
Nous ne ferons, dans tout ce Chapitre, que les appbquer à la solution de divers problèmes, nous bornant ici à signaler comme une de leurs conséquences immédiates la formule
doi'^-^d'^'^-hd Y* j j ds^ "~ ~ Ri "^ Tî'
qui est l'analogue des relations (i4) et (i 5) du Chapitre IV.
2. Remarque I . — Il convient de prouver que le signe attribué ci-dessus à la torsion est bien celui qui résulte de la convention faite au n® 5 du Chapitre IV. A cet effet, reportons-nous à ce Chapitre et différenlions ad' tiré de la première des équations (i3) ; il viendra
, dy^ A 7 A» + B» -r- CM - - \r AA' -4- BB' -h CC") ds ~ (A«4- Bî-h G2) v^Aî-f- B«-h C^
le radical ayant lé signe de s'. Le numérateur peut s'écrire
B(BA'- AB') -h C(CA'-. AC) = - (B^'— Gy)A,
à raison des identités déjà mentionnées
