AB — BA' BC — CB^ CV-^C

Nous aurons donc

M^ (B^^- cy)^

^* ~ (Aî-+-B»H-G2)v^A2-f-B«-hCV^'*-^7'*-^-5'*'

et, si l'on lient compte des formules (12) où les deux radicaux

ont, comme ici, le même signe, on pourra écrire

En vertu de la formule (28), le second membre est égal, en grandeur et en signe, à la torsion, conformément avec ce que nous venons de trouver.

C'est là une démonstration directe des équations (II). En voici Tanalogue pour le groupe.(I). La première des relations (10) donne, par différentiation,

, d% x' jx'^ -^ y^ -^ z'^) — x' {x' x" ^ y y" -^ z' z")

Le radical représentant s\ on peut écrire

du BV-Cy

ds "" (a7'î-i-y2-+-^'2)«"

Mais, d'après les équations (9) et (12), où les deux radicaux sont pris avec le même signe, le second membre de la formule précédente est précisément égal au rapport af : R.

Remarque IL — Les formules fondamentales permettent d'évaluer la torsion. Partons en effet de l'identité

kx''-\-By''-^Qz" =0,

l'une de celles qui définissent les coefficients

A =y y— z'y% B = z'x'— x'z\ G = x'y—yx'

du plan osculateur; différentiée, elle donne

A'^'^-f- B'y -f- G' 2" = — ( A^"'-i- By"-i- G -5'") = — A.

Or, d'après la définition de a" (Ch. IV^, n^ 3), on a

le radical ayant le signe de 5'. Différentions A, en tenant compte des formules (II); nous trouverons

A' = ^ >Jk> -h B* -h G2 -h a" ^ /A2 -4- B2 4- G*. 1 du^

Mais, en vertu des relations (12), ceci peut s'écrire

T du

On aurait pour B' et G des expressions analogues. Substituonsles dans le développement de A obtenu ci-dessus, et observons que la somme a-'x"-f- ^"y'-i-Yz" est nulle. Il viendra

ce qui donne l'expression connue de T.