II. — Quelques propriétés des hélices

3. Définition. — Etant donnés un cylindre, de forme quelconque, et un plan sur lequel sont tracées deux droites, on enroule le plan sur le cylindre de façon que l'une d'elles s'enroule sur une section droite du cylindre; la courbe suivant laquelle s'enroule l'autre droite du plan est une hélice. Si le cylindre est de révolution, l'hélice est dite circulaire.

Traduite en termes plus précis, la définition précédente peut s'énoncer ainsi : une hélice est la courbe qu'on trace sur un cylindre en portant sur chacune de ses génératrices, à partir d'une section droite, une longueur proportionnelle à Tare de cette section compris entre la génératrice et une origine fixe.

Une hélice est donc représentée en coordonnées rectangulaires par les formules

(4) ^ = X(^i)' r = 4'(*i)» z=^ksu

où s^ désigne l'arc de la section droite du cylindre; les fonctions y^ et d» sont, en conséquence, liées par la relation

Nous allons passer en revue quelques propriétés des courbes définies par les équations (4) et (5).

1° Uarc d^une hélice est proportionnel à Varc de la section droite du cylindre qui la porte. — En effet, l'hélice passe par le point pris pour origine des arcs S\ sur la section droite. Si l'on

FORMULES FONDAMENTALES ET COURBES GAUCHES. qS

compte son arc s à partir de ce point, il s'annulera avec St . Or on a

ds^ = dx^-h dy^-h dz^ = (x'^-^^'^) ds\ -+- k^ds\ = (i -h k^) ds\ ; d'où l'on conclut, par une intégration immédiate,

s = Si ^1-+- k^.

Le paramètre k pouvant être supposé positif, il existe un angle aigu cp dont k est la tangente. On aura donc

k = tango, s =

COSCP

résultat que l'on pourrait considérer comme évident, d'après la définition mécanique de l'hélice. Car les arcs Si sont les segments de la droite qui s'enroule suivant la section droite; les arcs s sont les segments correspondants de la droite qui s'enroule suivant l'hélice; si (f est l'angle aigu de ces deux droites, le segment Sij projection du segment 5, est égal à 5coscp.

2® La tangente à l'hélice fait un angle constant avec la génératrice de son point de contact, — En effet, le cosinus y de cet angle a pour expression

dz k dsx

Ce résultat est évident d'après la première définition de l'hélice.

3*^ La normale principale de V hélice est normale au cylindre en son point d'incidence. — En effet, le cosinus y' de l'angle qu'elle fait avec Oz est nul en vertu de la formule Kd*f=^Y^^ et de la propriété précédente, y = const. La normale principale est donc perpendiculaire à la génératrice du cylindre; mais elle est perpendiculaire aussi à la tangente à l'hélice, qui est une autre droite du plan tangent au cylindre. Elle est donc perpendiculaire à ce plan tangent.

4° Le rayon de courbure de l' hélice est proportionnel à celui de la section droite du cylindre, — Si l'on appelle R et R, ces deux rayons, on aura

Rf ~\ds\) '^\ds\) ' ï{^~\ds^J '^[d^J '^[d^J '

94 CHAPITRE y.

Le dernier terme de la seconde formule est nul, la dérivée de y étant nulle. D^autre part, on a, quelle que soit la fonction t^

dt dt ds I dt ^*' I <^*^

dsx ~~ ds dsi coscp ds ds^ cos'tp ds^

Ces relations, appliquées aux coordonnées a: et y, donnent

I cos^cp Ri

R» "^ "Rf ' cos2<p'

5" Le rayon de torsion de V hélice est proportionnel à son rayon de courbure, — En effet, d'après la propriété 2°, le plan osculateur de l'hélice fait l'angle ^ avec le plan des xy] la binormale fait donc aussi l'angle cp avec Taxe des z] d'où y r=cos(p. Mais, d'après l'une des formules fondamentales

Y étant nul, on a

ds R t '

— = — -^ = — cotco,

ce qui démontre la proposition que nous avions en vue.

4. Certaines des propriétés précédentes caractérisent les hélices. Ainsi, toute courbe dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe est une hélice. En effet, si les tangentes font un angle constant 90° — <p avec l'axe des 5, le cosinus y est égal à sincp. On a successivement

dz ^= ^ ds = sin o ds^ ^ = 5 sin ©.

Soit 5i l'arc de la projection de la courbe sur un plan perpendiculaire à Os; on aura

ds^= djc^-\-dy'^-\- dz^'= ds\-+- sin^cpû^^î, dSi = COS cp â?Y, Si= s cos cp,

à la seule condition de faire passer le plan des xy par l'origine des arcs de la courbe gauche. Dès lors, on a ;5 = 5^ tangcp, ce qui est l'expression analytique de la définition des hélices.

Toute courbe dont la torsion et la courbure ont un rapport

constant est une hélice. En effet les formules de Frenet donnent

d^ 0L^ df '^ Ëî! - 5

ds~ ^' dJ ~ T' d% ~ f'

Soit H la valeur constante du rapport R : T. Nous pouvons écrire

dx" = H rfa, d}' ^ H ^3, dY = H rfy,

a''=Ha-A, p'^^H^-B, Y'^^Hy-C,

en désignant par A, B, C trois constantes d'intégration. Ajoutons

ces équations, après les avoir multipliées respectivement par a,

P, y. Il viendra

Aa-^Bp-hGY= H,

ce qui montre que les tangentes aux courbes cherchées font toutes un angle constant avec une direction fixe, celle dont les coefficients directeurs sont A, B, C. Par suite ces courbes sont des hélices.

o. Pour V hélice circulaire , les résultats sont encore plus remarquables. Le cj'lindre qui porte la courbe étant de révolution, sa section droite est un cercle; le rayon de courbure R^ est constant. Il en résulte que le rayon de courbure de V hélice est constant puisqu^on a

R=: -^ =R,(l-hA2).

cos^o '^ ^

Le rayon de torsion est constant, comme étant dans un rapport constant avec le rayon de courbure. Toute courbe qui a sa courbure et sa torsion constantes est une hélice circulaire. C'est une hélice, puisque le rapport R : T est constant; et la section droite du cylindre qui la porte est un cercle, puisque son rayon de courbure R^, étant dans un rapport constant avec R, est lui aussi constant.

Le lieu des centres de courbure d^ une liélice circulaire est une hélice circulaire de même axe et dont le lieu des centres de courbure est r hélice proposée. On a vu, en effet, que la normale principale d'une hélice est la normale au cylindre sur lequel la courbe est tracée. Dans le cas actuel, la normale principale en tout point M de l'hélice donnée rencontre l'axe O^ du cylindre,

qui est de révolution. Le centre de courbure correspondant [jl est distant de cet axe d^une longueur

il est donc sur un cylindre de révolution ayant pour axe l'axe de rhélice considérée. Or si l'on compte les arcs s^ et o* des sections droites des deux cylindres à partir des génératrices d'un point M et de son centre de courbure [x, ces deux arcs seront dans un rapport constant ; comme le z du point [x, que nous appellerons Ç, est égal à celui du point M, on voit qu'il varie proportionnellement à (T. Ainsi le lieu du point [x est une hélice circulaire ayant même axe que la première. Des relations

Kl Kl

on déduit xk = i, ce qui prouve que le centre de courbure de la seconde hélice pour le point [jl est le point M lui-même. En effet, il est sur la droite [xM et sa distance à O^ est '

pix«= RiÂ:«x»=Ri.

Il y a donc réciprocité entre les deux hélices : chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de l'autre.