III. — Développantes

6. Dé/initions. — Quand les tangentes d'une courbe (C) sont normales à une courbe (Gq), on dit que (Cq) est une développante de (G) et que (G) est une développée de (Go).

Gherchons d'abord les développantes d'une courbe (G). Sur chaque tangente à cette courbe il s'agit de porter à partir du point de contact M(;r,^, z) un segment /, tel que le lieu de son extrémité Mo coupe toutes ces tangentes sous un angle droit. Soient ^0? yo) ^0 ^^^ coordonnées des points Mo de la développante. Nous aurons

On déduit de là par difTérentiation

dx^i = dx -h a dl -\- l da = a{ds -\- dl) -f- / ûfa,

et deux expressions analogues pour dyo et dzQ] dans ces formules s représente l'arc de la courbe (C). La condition d'orthogonalité des tangentes en M et Mo

a dx^ -\- p djTQ -h Y ^-^0 = o,

formée avec 1<bs dllTérentielles précédentes, se réduit à ds-\-dl=: o, d'où, par une intégration immédiate, on conclut

(6) / -t- 5 = const. = G, /=G-— 5.

Donc, pour avoir une développante d^une courbe (C), il faut porter sur chacune de ses tangentes, à partir de son point de contact M, et dans le sens des arcs croissants, une longueur qui, ajoutée à Varc compris sur la courbe (G) entre une origine fixe et le point M, donne une somme constante,

7. Du théorème que nous venons d'établir résultent diverses conséquences.

I** Toute courbe admet une infinité de développantes ; car, à chaque valeur delà somme constante l-{-s correspond une courbe qui coupe à angle droit les tangentes de la proposée.

2° La détermination des développantes d^une courbe donnée dépend d'une quadrature^ puisqu'il faut connaître l'arc de la proposée pour construire les développantes point par point.

3** On est conduit à un tracé continu de ces courbes en observant que la variation du segment MMq entre deux points de la proposée est égale à Varc compris entre ces deux points. Soient en effet M et M' les points de la courbe (C); désignons par Sm et Sm' les arcs qu'ils terminent, par Mo et M^ les points correspondants d'une développante (Cq). On a

MMo-t- 5;„ = G, M'M'oH- 5;„' = G,

d'où l'on déduit par soustraction

MMo— M'Mq = Sfn' — s,n= arc MM'.

Cela étant, considérons un fil flexible et inextensible, de longueur donnée, attaché par une de ses extrémités en un point fixe S de la courbe (C); une partie du fil est enroulée sur cette courbe de S en M, l'autre partie est tendue suivant la tangente en M. Quand on fait varier le point M sur la courbe, l'extrémité mobile du fil se meut sur une développante de (C).

Il faut remarquer que la démonstration de la formule (6) implique la continuité des cosinus directeurs de la tangente, menée toujours dans le sens des arcs croissants. La conclusion et la construction que nous en avons déduites cessent donc d'être justifiées si l'arc MM' présente un point où ces cosinus varient brusquement, ce qui arrive notamment en un point de rebroussement de première espèce.

4** Les développantes d^une courbe sont toutes tracées sur la développable formée par les tangentes à cette courbe. En particulier, si une courbe est plane, toutes ses développantes sont situées dans son plan et elle est V enveloppe de leurs normales principales.

C'est là une propriété qui n'appartient qu'aux courbes planes : si les normales principales d^une courbe ont une enveloppe, cette courbe est plane, d'où il résulte que l'enveloppe de ses normales principales est plane. Pour établir ce théorème, supposons que la normale principale MqNo d'une courbe (Cq) engendre une développable. Le plan tangent en Mo à cette développable est déterminé par la génératrice NqMo et par la tangente MqTq à la courbe (Cq) tracée sur la surface; par suite il se confond avec le plan osculateur de (Cq) en Mq. La caractéristique du plan osculateur sera donc la normale principale, tandis que c'est la tangente (Chap. III, n** 17). Il faut, en conséquence, qu'elle soit indéterminée, ou que le plan osculateur soit fixe, c'est-à-dire que la courbe (Cq) soit plane.

Remarque, — Les développantes d'une courbe étant les trajectoires orthogonales de ses tangentes, on voit que les trajectoires orthogonales des génératrices d'une développable sont déterminées par une quadrature, celle qui exprime l'arc de son arête de rebroussement.

8. Exemple L — D'après ce qui précède, les développantes d'une courbe plane (G) sont toutes situées dans le plan de cette courbe; elles ont les mêmes normales et les segments interceptés par deux d'entre elles sur toutes ces normales ont même longueur. C'est ce qu'on exprime en disant que toutes les développantes d'une courbe plane sont des courbes parallèles.

Appliquons à la chaînette {fig* 4» P* 79) '^ construction indiquée plus haut; le point S étant pris sur la branche de droite et le fil terminé au sommet A, son extrémité L, qui joue ici le rôle du point Mo, décrit une développante de la chaînette, puisque le segment ML est égal à l'arc AM. La tangente LP de cette courbe étant égale au paramètre a, le lieu du point L est une tractrice (Chap. III, n°4). Ainsi Vune des développantes d^ une chaînette est une tractrice.

Exemple II. — Proposons-nous de trouver les développantes d'une hélice. Soit M un point de la courbe 5 coupons le cj'lindre qui porte l'hélice par un plan de section droite contenant l'origine S des arcs de Thélice; soient M| la projection de M, et T la trace de la tangente en M sur ce plan. La droite Mi T, étant la projection de MT, est la tangente à la section droite. Désignons l'angle MTMi par (j>, l'arc SMi par s^ ; en vertu de la définition de l'hélice et de la propriété du triangle rectangle, on aura

Ml M = ^1 tangcp, MiM = MiTtang^;

d'où M4T =^Ss. D'après cela, le lieu du point T est une développante de la section droite ; sa tangente en T est perpendiculaire à MjT, et par suite à MT. Ce lieu est donc aussi une développante de l'hélice. On obtiendra chacune des autres en portant une longueur constante sur les tangentes MT à partir du point T. Mais, toutes les tangentes MT ayant même inclinaison sur le plan de section droite, les points ainsi obtenus formeront ime courbe plane qui se projettera sur le plan de la première suivant une autre développante de la section droite. Ainsi toutes les développantes d'une hélice sont des courbes tracées dans des plans parallèles, et égales aux diverses développantes de la section droite du cylindre qui porte cette hélice.

lOO CHAPITRE V.

rv. — Développées.

9. Pour déterminer les développées d'une courbe (C), nous allons chercher s'il existe, en chaque point M de cette courbe, une normale MN' qui reste tangente au lieu d'un de ses points M< lorsque M décrit (C); ce lieu sera une développée. Le point M| peut être déterminé par ses coordonnées a et è, relativement à la normale principale et à la binormale de (G) au point M(^,^,.z). Ses coordonnées absolues seront alors

Exprimons que le lieu de ce point est tangent à MM|; il faudra écrire que les difierenlielles rf^i, dy^^ dz\ sont proportionnelles à ^1 — x^ y\ — y, Z\ — z. Or, en ayant égard aux formules de Frenet, on trouve aisément

(7) û?a7i = a/^i— ^j ds-\-^\da-^ -^\ ^ et' (db — ^^j-

Nous aurons donc, en désignant par h ds un facteur de proportionnalité,

et deux relations analogues pour les deux autres coordonnées. Ces trois équations, développées et ordonnées, deviennent

a ( I — -^jds-h-a'lda-] = ahdsj -h ol" (db = bhdsj=o,

i^ (,^ ^\ ds -i- ^' (da-^ ^ - ahds\ -^ ^'' Ub -- ^

Y ( t — :^] ds -h ^' (da -i- -= ahdsj -h y" (db -^ bhdsj = o.

C'est là un système linéaire et homogène par rapport aux trois expressions entre parenthèses ; son déterminant n'étant pas nul, ce système exige

(8) I— H^=o, da-\- -7p ahds^ o, db ?= bhds = o.

1» fc t * *•

La première de ces relations montre que le point M| est sur la droite polaire. Donc toutes les développées d'une courbe sont sur sa surface polaire.

L'élimination de h entre les équations (8) donne

adb — h da , b ds

T ;- — = d arc tang — = -=^*

Si donc on désigne par <p l'angle dont tourne une droite, primitivement dirigée suivant la normale principale, pour venir coïncider avec MM|, le sens de la rotation étant celui qui amène la demidroite MN à coïncider avec MB après un quart de tour, on aura

/ X b rds

(9) «p = arc tang - = / -^'

L'angle cp étant ainsi déterminé, on a è = <2tang(p, et, comme a est égal au rayon de courbure R, les coordonnées de la développée ont pour expressions :

Ia7i = a? -h a'R -H «"R tangcp, ri=r-^P'R-t-P'Rtang(p, Zi = ^ 4- Y'R H- y'^I^ tangcp.

10. La formule (9), qui définit l'angle «p, donne lieu à diverses conséquences :

I** Cet angle n'étant déterminé qu'à une constante additive près, on voit que toute courbe a une infinité de développées. On les déduit les unes des autres d'une façon simple : ayant une famille de normales qui touchent une développée, si Von fait tourner chacune d'elles, d'un même angle quelconque, autour de la tangente en son point d'incidence, on obtient une autre famille de normales enveloppant une autre développée.

1^ Nous avons démontré directement au n** 7 que les normales principales d'une courbe gauche n'ont pas d'enveloppe; c'est ce que prouve aussi la formule (9), car elle ne peut donner (p = o, que si T est infini, hypothèse qui caractérise les courbes planes (Chap. IV, n^e, /?6m.).

3® Les diverses développées des courbes planes correspondent, T étant infini, à des valeurs constantes de 'f . Pour <p = o, on ob-

102 GHAPITRK Y.

tient une développée plane. Les autres développées coupent les droites polaires sous l'angle 90** — ç, constant tout le long de chacune d'elles. Par suite (n** 4) les développées dUine courbe plane sont les hélices tracées sur le cylindre qui a pour section droite la développée plane. Réciproquement, toute hélice est Vune des développées d'une infinité de courbes planes, ainsi qu'il a été démontré à la fin du paragraphe précédent.

4** Pour trouver les développées, planes ou gauches, des courbes planes, il n'est besoin que de dilTérentiations. Au contraire, les développées des courbes gauches dépendent d'une quadrature, celle qui donne l'angle ©.

11. Voici quelques propriétés générales des développées. De la théorie des développantes (n° 7) il résulte que l'arc MiMj, cornpris entre deux points d'une développée, est égal à la variation du segment MMj. En effet, ce segment est celui qu'il faut porter sur les tangentes à la développée (C| ) pour obtenir la proposée (G), qui est l'une de ses développantes. Si la proposée (G) est plane, et si la développée considérée est la développée plane, le segment MM I se confond avec le rayon de courbure de (G); ainsi l'arc compris entre deux points d'une développée plane est égal à la variation du rayon de courbure de l'une de ses développantes entre les points qui correspondent à ses extrémités. Get énoncé, comme le précédent, suppose que, entre les points considérés, les cosinus directeurs de la tangente à la développée n'éprouvent point de variation brusque (n°, 7, 3°).

Je vais étendre aux développées des courbes gauches une propriété des hélices. Soient R| et ï| les rayons de courbure et de torsion d'une développée (G|), © l'angle déjà trouvé que font, avec les normales principales de la développante (G), les tangentes de (G<). Je dis qu'on a toujours Ri = — T| langcp, comme pour les hélices. En effet, le plan rectifiant d'une courbe quelconque, lieu du point (x^y^z), a pour caractéristique une droite dont les équations sont

FORMULES FONDAMENTALES ET COURBES GAUCHES. Io3

la seconde résultant de la difTéreutiation de la première. Prenons pour axes des a?, des y et des z respectivement les trois directions principales de la courbe; d'où résulte a= jî'= y"= i, les autres cosinus étant nuls. Lia caractéristique cherchée ou droite rectifiante aura pour équations

T(X-ar)-HR(Z-z) = o,

ce qui montre qu'elle fait avec la tangente un angle [x, tel que R = — Tcot[x. Or, je dis que la droite rectifiante de (Ci) est la droite polaire de (C), ce qui donnera

Ri = — Ti cot[jL = — Ti tangç,

l'angle iji de la droite polaire avec MM| étant le complément de cp. Il reste à prouver que le plan rectifiant de (G| ) est le plan normal de (C), ou bien que la normale principale rf^ (C| ) est parallèle à la tangente de (C). Or (C|) est l'arête de rebroussement de la développable engendrée par MM| ; celte développable contient la courbe (C), et son plan tangent en M est le plan de Mi M et dé la tangente MT à (G); c'est aussi le plan tangent en M|, qui se confond avec le plan osculateur à (C|). Dès lors, la normale principale à (G^) en M|, étant menée dans le plan TMMi perpendiculairement à M< M, est parallèle à MT.

En vertu du théorème précédent, il suffit, pour connaître la courbure et la torsion d'une développée, de déterminer son rayon de courbure R| . Pour l'obtenir, désignons par des lettres affectées de l'indice i l'arc et les cosinus des directions principales de l'une des développées (G| ) d'une courbe (G). Les points (^,y, -s) de la développante (G) sont liés aux points (^d^O'^O de (G«) par les formules

x — xx-^i^x, y =y\-^i^u z — ^\-^i^u

l étant une longueur telle qu'on ait rf/= ds\ .

DilTérentions les formules précédentes en tenant compte de cette relation. Nous trouvons

oids = Idai, ^ds = Id^iy yds=ld'^i.

I04 CHAPITRE y.

OU, à raison des formules fondamentales,

oids = -~- dsi , S â?5 = -^ dsxf y ds = -^ dsi . Kl Kl Kl

Élevons au carré et ajoutons ; il viendra

d'où résulte pour R| cette expression remarquable

Mais, d'après la détermination des développées (n® 9), nous avons

, R rds

~ coscp' ^ ~'J T

Substituant ces valeurs dans la formule précédente, on trouve

^ ^ R /dR R \

Telle est l'expression du rayon de courbure d'une développée, en fonction des éléments de la proposée.