V. — Équations intrinsèques des courbes gauches
12. On appelle équations intrinsèques d'une courbe les formules qui font connaître sa courbure et sa torsion en fonction de son arc. Nous allons démontrer que la connaissance de ces deux éléments détermine complètement la forme d'une courbe.
Théorème. — Si deux courbes gauches (C) e^ (C|) sont telles que leurs courbures et leurs torsions soient respectivement les mêmes fonctions de leurs arcs, on peut les faire coïncider.
Pour le prouver, faisons coïncider les points O et Oi pris sur (C) et (C«) pour origines des arcs; faisons coïncider aussi les trièdres principaux des deux courbes relatifs à ces deux points. Appelons s l'arc des deux courbes, R, T leurs rayons de courbure et de torsion aux points M et M| qui correspondent à la
ds
aï T'
d%' ds
FORMULES FONDAMENTALES ET COURBES GAUCHES. 1 o5
même valeur de 5; soient x^ y^ z les coordonnées du point M et a, p, . . . , y" les neuf cosinus des directions principales en ce point; pour les éléments analogues de la courbe (C|) relatifs au point Mf, nous emploierons les mêmes lettres affectées de l'indice I . Nous aurons, pour s = 0,
Cela posé, les formules fondamentales donnent, pour les deux
courbes,
da. a' de/! (x cl" dfj." a!
ds ~ K' ^ ^ "" R ■
doLi __ a'i d(x' «1
'ds ^ K' "SF^^R"
De ces relations, on déduit aisément
-j (aaj -h a'a'i H- «"aj) = o.
Ainsi l'expression dont la dérivée figure au premier membre est constante 5 or pour 5 ■= o elle se réduit à l'unité. On a donc, quel que soit s,
aai -+■ a'a'i -\- a'^aj = i .
Rapprochant de cette relation les deux identités
a« H- a'» -i- a''» = I , af -4- a'i» -h a';* = r, on trouve, par une combinaison évidente,
(ai— a)«-4-(a'i — a')2-i-(aî — a'')*= o;
d'où l'on déduit en particulier ai = a. On trouverait de même P^ = p, Yi = y. On a donc toujours
dxt dx dyx dy dz\ __ dz
ds ds ds ds ds ds
ce qui prouve que les différences X\ — oc^y^ — y^lz^ — z sont constantes. Etant nulles pour 5 = 0, elles sont toujours nulles, de sorte que les deux courbes (G) et (C<) coïncident.
Remarque. — La proposition précédente permet, quand on connaît une courbe dont les rayons de courbure et la torsion sont
Io6 CHAPITRE y.
des fonctions données de Tare
d^affirmer que toute courbe qui satisfait aux mêmes équations ne peut différer de la première que par sa position dans l'espace, non par sa forme. Cette proposition est donc, à certains égards, l'analogue de celle que nous avons démontrée pour les courbes planes (Chap. IV, u? 12); mais elle est moins complète, car elle n'établit pas Texistence d'une courbe vérifiant les équations intrinsèques données. C'est la question qui va maintenant nous occuper.
13. Théorème. — Étant données deux fonctions continues d^une variable s,
dont la première est toujours positive, il existe une courbe dont s mesure l'arc et dont la courbure et la torsion au point qui termine l'arc s sont représentées respectivement par les fonctions tù et m.
Je dis d'abord que si (/, m, /i), {l\m\n')j {l'^m'^^n") sont trois systèmes dHntégrales des équations simultanées
