II
dl m dm In dn m
ds~ ^ ^ - ~ R ~ T ' ds ~ T'
si, de plus, ces fonctions vérifient les six équations
/ /2 + /'2 ^ rt = ,^ im-h Vm' -f- fm" = o,
(12) < /n*-i- /n'*-4- /n'''= I, mn-^ m' n'-+- rn''n'' = Oj
( n« -t- n'* -h n"^ =1, ni -h n' V 4- n' l" = o,
et si leur déterminant
(12') nil'm"— m'I") + n'i^fm — m'I) -t- n\lm'— ml')
est égal à -f- 1, les fonctions ^ et T sont les rayons de courbure et de torsion de la courbe définie par les formules
X = I Ids, y= I l'dsy ^~ I ^dSf
pourvu que la fonction R soit toujours positive. En effet, on a
^? = / ^ = /', ^ = l\ dx^-\-dY^-^ dz^ = ds^, ds ^ ds ds ^ -^
ce qui prouve tout d'abord que s est l'arc de la courbe considérée (C), et que /, /', l" sont les cosinus a, jî, y de sa tangente menée dans le sens des arcs croissants. De plus, la première équation différentielle (i i) donne
ds^ ~ R' 55«""R' 5^~"r'
L - {^y f^Y (^Hiy
On en conclut, R étant positif, que c'est le rayon de courbure de la courbe (G); et, puisqu'on a
doL m
ds "K'
ds
ds
on voit par comparaison avec les formules de Frenel que m, m', m'^ sont les cosinus a', p', ^ de la normale principale.
Dès lors /i, /i', n!' ^ qui, en vertu des hypothèses ( 1 2 ), ne peuvent différer que par le signe des cosinus a", P'', y" de la binormale, leur sont égaux, puisque le déterminant
est égal à + I. Par suite, la troisième équation différentielle (1 1) donne
do^(^ ^-1 ^-l'
ds ~ H' ds " T' ds " T'
ce qui, d'après les formules fondamentales, prouve que T est le rayon de torsion.
Ce lemme établi, désignons par /, m, n trois fonctions inconnues de la variable s et considérons les équations différentielles (i i ). Si (/, m, n) et (/', m\ n') sont deux systèmes, distincts ou confondus, d'intégrales de ces équations, on aura visiblement
-T- ( 11'+ nim'-^ nn') = o, H'-i- mm'-{- nn' = const.
I08 CHAPITRE y.
Or on sait que, étant donnés trois nombres arbitraires /o> ^o? ^o? il existe un système d'intégrales (/, m, /i) qui prennent ces valeurs pour 5 = 0. Si donc nous considérons neuf constantes
(/o, f^o, /lo), (/'o, /w'o, n'o), (/J, /nj, /ij),
vérifiant les six équations (12) et dont le déterminant soit égal à + I , il existera trois systèmes d'intégrales
des équations (11), qui pour 5 = o se réduiront respectivement à ces neuf constantes.
Mais nous venons de prouver que les six expressions telles que
/* -h 7?i2 H- n*, ll'-\- mm' -h nn\
c'est-à-dire les premiers membres des équations (12), ont des valeurs constantes. Elles auront donc constamment les valeurs i, i, 1, o, o, o qu'elles ont pour 5 = o et le déterminant (12') sera égal à + I. Ainsi seront réalisées toutes les conditions du lemme précédent, ce qui démontre l'existence de la courbe cherchée.
L'intégration des équations (1 1) revient à celle d'une équation de Riccati. En effet, tout système d'intégrales (/, m, n) peut être supposé tel que la somme /^-f- /n^+ n^ soit égale à l'unité, puisqu'elle est constante. On est ainsi conduit à poser
/ = sin6cosç, m = sinOsincp, /i = cos6;
et si l'on substitue ces expressions dans les équations proposées, on reconnaît qu'elles se réduisent à deux, qui peuvent s'écrire
û?6 sin© <icp C016C0S9 I
En introduisant comme inconnue la fonction complexe
X = e'<Pcoi6, on tire de ces équations la suivante
.dl X2—1 X qui, réciproquement, les entraîne, quand on sépare la partie réelle
de la partie imaginaire. C'est là une équation de Riccati, dont il suffira de connaître une intégrale complexe, pour avoir une courbe et, par suite, toutes les courbes répondant à la question.
VI. — Développements des coordonnées d'une courbe suivant les puissances de l'arc.
14. Les formules fondamentales permettent de calculer de proche en proche les dérivées successives des coordonnées d'une courbe par rapport à son arc. Désignons la courbure par (o, la torsion par th, et indiquons par des accents les dérivées de (o et de m par rapport à s. On a
En continuant à différentier, on obtiendra pour la dérivée /i'^™® une expression de la forme
OÙ P«, Q„, R,t dépendent de (o et de ses /i — 2 premières dérivées, de js et de ses n — 3 premières dérivées, comme on s'en assure aisément. Les dérivées n'®"«8 de y et de z seront composées avec les cosinus p, p', p^', y, y', y affectés des mêmes coefficients :
Connaissant ainsi les dérivées des trois coordonnées, on pourra développer x^ y^ z suivant les puissances de s par la formule de Maclaurin, si Ton se donne leurs valeurs et celles des neuf cosinus pour 5 = 0.
Nous calculerons les trois premiers termes de ces développements, en plaçant l'origine des coordonnées à l'origine des arcs et prenant respectivement, pour axes des x^ des y et des z^ la tangente, la normale principale et la binormale de la courbe considérée. On aura par suite, à l'origine, a = P'= y''= i et les autres cosinus seront nuls. Si nous affectons de l'indice o toutes les valeurs relatives à l'origine, les formules (i3) et leurs analogues
IIO CHAPITRE y.
pour^ et z donneront
Xq = 0, iT'o = I , xl = o, arj' = — toj ;
ro = o, /o = û, r J = «*>0) y; = «»>'o ;
zo = o, -30 = 0, zj = o, -5o = a)oTno; d'où résultent les développements suivants :
Voici quelques conséquences importantes de ces formules :
I® Une courbe traverse chacun de ses plans osculateurs en son point de contact, — On voit en effet que, sauf dans le cas exceptionnel où l'on aurait tù^rso = o, à deux valeurs de s voisines de zéro, l'une positive, l'autre négative, correspondent pour z deux valeurs de signes contraires. La courbe passe donc d'un côté à l'autre de son plan osculateur.
Nous aurons à revenir sur cette importante propriété. Disons dès maintenant qu'on appelle points stationnaires les points pour lesquels elle ne se vérifie pas.
2® La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du troisième ordre par rapport à cet arc. — Calculons en effet, au moyen des formules (i4), le carré c^ de la corde qui soustend l'arc s] nous aurons
/ wH \
d'où, en élevant les deux membres à la puissance ^,
Ce résultat, indépendant de la torsion , est le même pour les courbes gauches que pour les courbes planes.
3** Le rayon de courbure en un point M dhine courbe plane
ou gauche est la limite comm^une des rapports MP : aM'Pe/
MM' : 2M'P, où M' désigne un point voisin de M et V la projection de M! sur la tangente en M. — Soit, en effet, s l'arc MM' ; nous aurons
x^y^ z el c représentant les développements précédents. Si Ton s'en tient aux parties principales, il viendra MM' = MP = 5, 2M'P:= coo5^, d'où résulte visiblement
I ,. MP ,. MM' Ko = — = lim = lim --,p •
0)0 2M P aM'P
Ces expressions du rayon de courbure servent dans diverses questions.
4** La plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines est de Vordre du cube de Varc compris entre leurs points de contact, — Soient M l'un des deux points, pris pour origine des arcs et des coordonnées, M' l'autre, s l'arc MM'; les formules (i4) font connaître les coordonnées de M' et aussi les dérivées :r', y', ^' prises par rapport à 5. La tangente en M' se projette sur le plan àesyz suivant une droite dont l'équation est
et dont la dislance à l'origine est égale à la distance S des deux tangentes en M' et M, puisque cette dernière est perpendiculaire au plan àe%yz. On trouve ainsi, en effectuant les calculs indiqués,
^yi^z'^ la
On voit qu'aux points stationnaires la distance 8 est d'un ordre supérieur à trois.
