VII. — Signe de la torsion

15. Nous avons reconnu, en déterminant le rayon de torsion (Chap. IV, n® 6), que son signe est indépendant du sens dans lequel sont comptés les arcs. C'est ce qu'on vérifie sur celles des formules fondamentales où figure T. Écrivons en effet la première de chacun des groupes (II) et (III)

dd" ol'

dd' OL a"

ds - T'

ds R T

Si l'on change le sens des arcs croissants, c'est-à-dire le sens de

112 GBAPITRE Y.

la tangente, comme celui de la normale principale ne peut changer, il faut, pour laisser au trièdre principal sa disposition primitive, changer le sens de la binormale. Ainsi a, p, y et a", P", y" changent de signe en même temps que ds* On voit que cela ne modifie point le signe de T.

Les deux signes dont la torsion est susceptible correspondent aux deux allures opposées que peuvent présenter les courbes gauches. Une pareille courbe étant tracée dans Tespace, pour nous rendre compte de son allure en l'un de ses points M, imaginons qu'un observateur soit debout sur l'une des faces du plan osculateur en M, les pieds en un point quelconque de la normale principale, et qu'il regarde le point M, ainsi que les deux arcs de courbe séparés par ce point. Puisque la courbe traverse ce plan en M (n® 14, i°), il verra l'un des deux arcs au-dessous du plan osculateur, l'autre au-dessus. Si l'arc inférieur est à sa gauche, il jugera qu'un point qui décrit la courbe en s'élevant monte de gauche à droite; on dit alors que l'allure de la courbe est dextrorsum. Si c'est l'arc supérieur que l'observateur voit à sa gauche, il jugera que la courbe monte de droite à gauche et dira que l'allure de la courbe est sinistrorsum.

Pour justifier cette distinction capitale, il faut s'assurer que la courbe présentera la même apparence à l'observateur, quelle que soit celle des deux faces du plan osculateur sur laquelle celui-ci sera debout, pourvu qu'il regarde toujours le point M et se place toujours du même côté du plan rectifiant, soit du côté du centre de courbure relatif au point M, soit du côté opposé. C'est ce dont il est aisé de se convaincre en imaginant l'observateur en présence de la courbe, dans les deux positions contraires qu'il peut occuper. Il est à peine besoin d'ajouter que la même courbe affecte aux yeux de l'observateur deux allures opposées, quand celui-ci passe d'un côté du plan rectifiant à l'autre côté.

Il n'y a dans ce qui précède d'autre convention que la convention verbale qui fixe le sens des mots dextrorsum et sinistrorsum. Mais, pour rattacher le fait géométrique qui nous occupe au signe de la torsion, nous aurons égard à la convention que l'on fait d'habitude sur la disposition du trièdre des coordonnées et à celle que nous avons faite sur le signe de T (Ghap. IV, n® 6). Nous conviendrons en outre de placer l'observateur du côté du plan

Il3

rectifiant où rHest pas le centre de courbure : de cette façon, si la courbe peut être tracée sur un cylindre fermé, l'observateur sera placé en dehors de ce cylindre.

Cela posé, rapportons, comme au n® 14, une courbe (C) au trièdre principal relatif à l'un de ses points M, et comptons les arcs à partir de ce point. Nous avons trouvé, aux notations près,