RT

Si donc T est positif, z et x sont de signes contraires aux environs du point M; c'est la disposition représentée sur la fig, 5. Le centre de courbure en M étant, par hypothèse, situé sur la

Fig. 5.

Fig. 5 bis.

partie positive de l'axe M^, l'observateur devra se mettre en arrière du plan des zx, et nous pouvons, d'après ce qui a été dit plus haut, le supposer placé du côté des z positifs. Il voit alors l'arc inférieur à sa gauche : l'allure de la courbe est dextrorsum.

Si, au contraire, T est négatif, z el x sont de même signe aux environs du point M; c'est la disposition représentée sur la fig, 5 bis. Or l'observateur étant toujours en arrière du plan des zx^ l'arc inférieur est à sa droite : l'allure de la courbe en M est sinistrorsum.

En vertu du raisonnement des cas exclusifs, les réciproques sont vraies : une courbe à torsion positive est dextrorsum, une courbe à torsion négative est sinistrorsum.

Il va sans dire que, si l'on changeait la disposition des axes de coordonnées ou la situation de l'observateur, les conclusions précédentes s'échangeraient entre elles.

Il4 CBÀPITRB y. — FORMULES FONDAMENTALES ET COURBES GAUCHES.

Exemple* — Considérons Thélice circulaire définie par les équations

a7 = RiC0s~^ y = Risin~j z = ksx^

Ui Kl

où R< est le rayon du cylindre qui porte la courbe. Si Ton calcule le rayon de torsion ï, en appliquant la formule (28) du Chapitre IV, on trouve aisément

On voit donc que, si k est positif , l'hélice est sinistrorsum; si k est négatif, l'hélice est dextrorsum, le trièdre des coordonnées ayant la disposition habituelle figurée ci-dessus.

Remarque. — Considérons deux courbes gauches, symétriques l'une de l'autre par rapport à un plan, celui des xy par exemple. Tout point {Xyy^ z) de Tune a pour symétrique le point {x^y, — z) de l'autre. Or il est évident que, si l'on change le signe des trois dérivées z\ z" , y, l'expression de T change de signe. Donc, si deux courbes sont symétriques par rapport à un plan, elles ont en leurs points correspondants des torsions égales et de signes contraires.

Réciproquement, si deux courbes ont, aux extrémités d'arcs égaux, leurs courbures égales, leurs torsions égales et de signes contraires, l'une d'elles peut être rendue symétrique de l'autre par rapport à un plan. En effet, une courbe (C) et sa symétrique (F) ont, en leurs points correspondants, des torsions égales et de signes contraires; leurs courbures sont d'ailleurs les mêmes en ces points. Si donc «0(5) et ^(s) représentent la courbure et la torsion d'une courbe (C), toute courbe (C), qui a pour courbure (0(5), pour torsion — ^(s)^ a même courbure et même torsion que la courbe (F) symétrique de (C). Or on a vu (n® 12) que si deux courbes ont leurs courbures et leurs torsions exprimées respectivement par les mêmes fonctions de leur arc, elles sont superposables. En conséquence, toute courbe (G) est égale à une symétrique (F)de(C), ce qui justifie notre assertion.

CONTACTS DBS COURBES ET DES SURFACES. 1x5