I. — Contact de deux courbes planes

1. Quand deux courbes (C) et (O) ont en commun un point simple P, on dit qu'elles ont en ce poiat un contact d^ordre /i, si à tout point Q infiniment voisin de P sur la courbe (C) on peut faire correspondre sur la courbe {C!) un point Q' tel que la distance QQ' soit un infiniment petit d'ordre n 4- i par rapport à la corde PQ.

Pour traduire analytiquement cette définition, appelons x^ y les coordonnées de V\ x^^ y^ celles de Q; ^i + a, ^< + p celles

deQ', et représentons la courbe (C) par l'équation F(a:,y) = o Le point Q' étant sur celte courbe, on aura

IVfais, si 6 est l'angle des axes, on a

QQ' = v/a2-i-2apcose-hpS

ij6 chapitre yi.

ce qui montre que l'une des quantités a et ^est d'ordre n-\-i par rapport à PQ, l'autre pouvant être d'un ordre supérieur. Par suite, V expression ¥{xs , y^ ) est d^ ordre n -+- i •

Réciproquement, si ¥{x^^ yC) est de l'ordre n H- i, choisissons arbitrairement pour a une expression de l'ordre n-\- \\ l'équation ci-dessus donnera pour p une expression qui sera aussi de l'ordre /? -h i , et il en sera de même de la distance QQ'. Les deux courbes auront un contact d^ ordre n.

Le raisonnement suppose que les dérivées F^^ et F^^ ne sont pas infiniment petites toutes les deux. S'il en était ainsi, les deux dérivées F!p et F^,*qui diffèrent infiniment peu de F^^ et F^^ ayant des valeurs fixes, seraient rigoureusement nulles. Le point P ne serait pas un point simple pour la courbe (C).

En conséquence, pour que deux courbes (C) et (C) aient en un point P un contact d^ ordre /i, il faut et il suffit que les coordonnées d'un point Q infiniment voisin de P sur (C), étant substituées dans le premier membre de V équation de la courbe (C), donnent un résultat de l'ordre n -|- i par rapport à la distance PQ.

2. Supposons la courbe (G) définie par les expressions de ses coordonnées en fonction d'un paramètre

Soient t et t -\- dt les valeurs de ce paramètre auxquelles correspondent les points P et Q. Le point P étant un point simple de (C), la corde PQ est du même ordre que dt (Cbap. I, n® 4).

Si maintenant on suhsiilue x -\- x' dt, y -^y dt à x et j/* dans F, on devra trouver un résultat de l'ordre n -h i par rapport à dt; c'est-à-dire que, si l'on pose

le développement de ^[t-i-dt) suivant les puissances de dt commencera par un terme en rf^""*"*. Ceci entraîne les conditions

qui sont au nombre de /iH-i. A.insi, il faut n -\- i conditions pour exprimer que deux courbes planes ont en un point donné un contact d'ordre n.

Supposons maintenant les deux courbes représentées par des équations résolues

La fonction ^(t) ne sera pas autre chose que la différence ^2(0 — /(^) ^^ ?2(^) — /{^) ^6S ordonnées des deux courbes répondant à une même abscisse. Donc, pour que deux courbes aient en un point donné un contact d'ordre n, il faut et il suffit que V ordonnée et ses n premières dérivées prises par rapport à V abscisse aient les mêmes valeurs pour les deux courbes en ce point.

Cette règle donne le moyen d'exprimer les conditions de contact pour deux courbes représentées par les équations non résolues

Il suffira de former, par les règles connues pour la différentiation des fonctions implicites, les équations qui déterminent les n premières dérivées des deux fonctions y de la variable x. On aura ainsi, avec les équations des deux courbes, deux groupes de n-|-i relations entre les paramètres y, y'^ y\ . . . , y^'^^ supposés avoir les mêmes valeurs dans les deux groupes pour l'abscisse x du point donné. En éliminant ces n + i quantités on obtiendra les n H- I conditions de contact.

Remarque, — Pour exprimer que deux courbes ont, en un point indéterminé x^y du plan, un contact d'ordre /i, on procédera de même. Seulement on devra aussi éliminer x^ de sorte qu'il ne restera plus que n équations de condition.