II. — Courbes osculatrices dans le plan

3. Considérons un système de courbes (C) dépendant de n + i paramètres, et un point P d'une courbe fixe (G). On pourra établir un contact d'ordre n au point P entre (G) et une ou plusieurs des courbes du système, en déterminant les /? -h i paramètres. Ces courbes, dont l'ordre de contact est le plus élevé possible parmi celles de l'espèce considérée, sont di tes 05Cw/airfC65 à la courbe (C).

Il8 CHAPITRE VI.

La droite, dépendant de deux paramètres, peut avoir avec une courbe un contact du premier ordre. Alors son ordonnée et la dérivée de cette ordonnée par rapport à Tabscisse ont même valeur que celles de la courbe; ainsi la droite osculatrice se confond avec la tangente, leurs coefficients angulaires étant les mêmes en un point commun. Pour qu'une courbe et sa tangente aient un contact d'ordre supérieur au premier, il faut que les dérivées secondes de leurs ordonnées soient égales. On doit donc avoir en ces points, pour la courbe comme pour la droite, ^^'= o, ce qui caractérise les points d'inflexion.

Le cercle, dépendant de trois paramètres, est osculateur à une courbe quand il a un contact du second ordre avec elle. Soit, en coordonnées rectangulaires

l'équation d'un cercle osculateur au point M.(^x,y) à une courbe (C). DifFérentions deux fois cette équation par rapport à x et retenons que y et y" sont égales aux dérivées de l'ordonnée de (G). Nous trouvons

(2) 3c — xx-^{y —yi )y = o,

(3) i-+-y*H-(r— ri)y'=o.

Or, si l'on y considère Xt et y^ comme des coordonnées courantes, l'équation (2) représente la normale à (G) en M; l'équation (3) est son équation dérivée. Donc, le centre du cercle osculateur coïncide avec le centre de courbure et le cercle osculateur se confond avec le cercle de courbure.

Le cercle osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe aux points où le rayon de courbure est maximum ou minimum, et réciproquement. DifFérentions, en effet, une troisième fois l'éqjuation (i); il vient

et la dérivée y"' est par hypothèse égale à celle de l'ordonnée de la courbe. Éliminons y — y% entre les deux relations (3) et (4) • nous trouvons

(5) ^yY-{i'^y^)f'=^^

ce qui exprime précisément que la dérivée du rayon de courbure

est égale à zéro. Ainsi R est maximum ou minimum. D'autre part, l'équation (5), jointe à l'équation (3), entraîne l'équation (4), ce qui démontre la réciproque.

Voici encore un exemple simple de courbe osculatrice. Étant donnée une courbe y =/(^x)^ on cherche, parmi les paraboles de degré /i,

celle qui est osculatrice à la proposée en un point x = Xo> H suffit pour l'obtenir d'écrire le développement

y = o(y) = (^[Xo-h (X — Xo)]

D'après la règle du n° 2, on doit avoir

?o(^o)=/(iPo), ?^''H^o)=/^''H^o) (r = i, 2, ..., n). On déduit de là

ce qui fait connaître la parabole osculatrice cherchée.

4. Théorème. — Une courbe plane (G) dépendant de n-\-i paramètres, si on V assujettit à rencontrer une courbe donnée (C) en un point fixe P, et de plus en n autres points voisins de P, puis qiCon fasse tendre suivant une loi quelconque ces n points vers P, la courbe (C) tend vers Vune des courbes de son espèce osculatrices en J? à la courbe (C).

Les courbes (G) et (G) étant définies par les équations F(a7, ^, ai, ..., a„H,) = o; x = ^i(t), j^ = ç,(^), soit, conformément à la théorie générale,

Soient ^, t-h-h^j t -\- h^, ..., t-\- hn les n H-i valeurs du paramètre qui donnent le point P et les n points voisins. Les conditions qui expriment le passage de (C) en ces /i -+- 1 points sont

Nous allons faire tendre tous les h vers zéro suivant une loi quelconque et nous désignerons par s la plus grande des valeurs absolues de ces n quantités dans chaque position des points variables. Le système (6) peut être remplacé par celui-ci

ou, en vertu d'une proposition fondamentale, par cet autre

(7) 'KO = o, ^'{t-\-ki)=^o, (i= 1,2, ...,/i),

les quantités ki étant toutes comprises entre — e et e. En appliquant le même principe, nous remplacerons le système (7) par le suivant ;

4^(0 = 0, ^'{t-^kx) = o, tl^'(f-h//) = o, (if= 1,2, ..., n — I),

où les // sont compris entre — e et e. En continuant de même, nous arriverons facilement au système

OÙ tous les accroissements A*! , /2, . . . ^ rn sont compris entre — £ et e. Si maintenant nous passons à la limite, e devenant nul, nous trouvons

c'est-à-dire précisément les conditions par lesquelles sont déterminés les paramètres a<, «2? •••? ^n quand les courbes (G) et (C) ont un contact d'ordre n au point P.

Cette proposition, fondamentale dans la théorie des courbes osculatrices, permet de déterminer certaines d'entre elles sans calcul. La droite osculatrice, étant la limite d'une sécante, est la tangente. Le cercle osculateur pourra être considéré comme la limite d'un cercle tangent en P à la courbe donnée (G) et passant par un point P' voisin de P. Son centre est donc sur la normale en P et sur la position limite de la perpendiculaire au milieu de

la corde PP'; il coïncide donc avec le centre de courbure. De même, on peut voir qu'il existe deux paraboles osculatrices ; il suffit de prendre la corde P2P3 toujours parallèle à PP^ ; ces deux cordes constituent une première parabole joignant les quatre points et dont la limite est la tangente en P; il y a de plus une véritable parabole passant par ces quatre points, et qui devient osculatrice quand les deux cordes viennent se confondre avec la tangente en P.

III. — Contact d'une courbe et d'une surface. — Plan osculateur.

5. Quand une courbe (C), plane ou gauche, et une surface (S) ont en commun un point simple P, on dit qu'elles ont en ce point un contact d^ordre /i, si, à tout point Q infiniment voisin de P sur la courbe, on peut faire correspondre sur la surface un point Q' tel que la distance QQ' soit un infiniment petit d'ordre n ■+- I par rapport à la corde PQ.

Soient x^ y^ z les coordonnées de P; x^^y^^z^ celles de Q; Xk -+- a, j^i + j3, ^4 4- y celles de Q' et F(^,y, ^) = o l'équation de la surface. Si X, |ji, v sont les angles des axes, on a

QQ' = /a* -f- p2 i ^2 | 2 «p cos V -H '2 Py cos X -h 2 y» cos {jl.

En raisonnant comme pour les courbes planes, on reconnaît que F(^i,j/-4, Zf) est un infiniment petit d'ordre n-\-\ par rapport à la corde PQ. Réciproquement, s'il en est ainsi, il y a contact d'ordre /i, deux des trois quantités a, p, y pouvant être prises arbitrairement de l'ordre /i -f- 1, ce qui détermine la troisième. Il n'y aurait exception que si les trois dérivées F^, F' , F^ étaient nulles; mais alors P ne serait pas un point simple de la surface.

En conséquence, pour qii^une courbe et une surface aient ^ en un point V, un contact d^ ordre n, il faut et il suffit que les coordonnées d' un point Q infiniment voisin de P sur la courbe, étant substituées dans le premier membre de V équation de la surface, donnent un résultat de V ordre n -\- 1 par rapport à la distance PQ.

Si la courbe (G) est donnée par les formules

soient ^ et t -\- dt les valeurs du paramètre auxquelles correspondent les points P et Q ; le point P étant un point simple de (C), la corde PQ est de Tordre de dt (Ghap. I, n** 4). Si donc on pose

le contact d'ordre n s'exprime par les /i + i conditions Quant la courbe (G) est donnée par deux équations

A^iy, ^) = o, ?(^,7» «) = o>

on peut prendre x = t. On calcule les dérivées des n premiers ordres de la fonction composée

où y et z sont les fonctions implicites de x définies par les équations de la courbe, et l'on égale ces dérivées à zéro.

6. On appelle sur/aces oscidatrices en un point d'une courbe, parmi les surfaces d'une famille à n + 1 paramètres, celles qui ont, en ce point, un contact d'ordre n avec la courbe.

Un plan, dépendant de trois paramètres, peut avoir un contact du second ordre. Le plan

AX-4-BY-fCZ-4-D = o

aura un contact du premier ordre en x^ y^ z, si l'on a

(g) o = ^{t) = AiF -4- B^ H- G<5 + D,

(10) o = ^'{t) = Ax'-h B/h- Cz\

Il n'est donc assujetti qu'à contenir la tangente à la courbe : c^est un plan tangent. Il aura un contact du second ordre et sera osculateur si l'on a de plus

(11) o = Y{^) = Aar"-!- By"-^ Cz".

Nous retrouvons bien le plan déjà considéré sous le nom de plan osculateur, et défini comme étant mené par un point d'une courbe perpendiculairement à la droite polaire de ce point.

Éludions la position d'une courbe près d'un de ses points, par rapport à ses plans tangents et à son plan oscillateur. Soit

l'équation du plan tangent enP(a;,jK, 2) que nous considérons. Les coefficients A, B, G vérifient l'équation (10). Substituons dans G les coordonnées d'un point voisin de P,

. , Zi =

Xx= ^\{t-\- h) = X -\- hx' -{ (37*4- a), ^1 =

Eu égard à l'équation (10), nous trouvons

G(a7i,^„ ^,) = — {kaf-^ By-+- Cz"-^ Aa -h B? -f- Cy) = —Wi^)-^^]-

Si le plan n'est pas osculateur, Yi^) ^^î^^re de zéro et donne son signe à la parenthèse, pourvu que h ait une valeur suffisamment petite, positive ou négative. Ainsi, de part et d'autre de P, la courbe est située d'un même côté d'un quelconque de ses plans tangents.

Si le plan G = o est le plan osculateur, il faudra prendre un terme de plus dans les développements de ^<,jKn ^s et l'on trouvera, ^'^(^) étant nul,

Ce résultat de substitution changeant de signe avec A, la courbe tras?erse son plan osculateur^ ainsi qu'il a déjà été vu (Chap. V, n® 14). Il y a exception pour les points, appelés stationnaires, dont le paramètre t vérifie à la fois les équations (10) et (i i) et celle-ci

qui, étant linéaires et homogènes en A, B, G, entraînent

yU,

Une courbe, dont tous les points sont des points stationnairesj est une courbe plane, puisque l'identité A = o caractérise les courbes planes (Ghap. IV, n° 6).

124 CHAPITRE YI.