IV. — Courbes tracées sur une surface ; intersection
de deux surfaces.
9. Si, dans les formules (6) qui définissent une surface, on remplace u et i> par deux fonctions d'un même paramètre
propres à définir une courbe plane de coordonnées u et p, les expressions de x,y^ z deviendront des fonctions de /, remplissant les conditions nécessaires pour définir une courbe de l'espace. Cette courbe sera évidemment située sur la surface (6).
Réciproquement, une sur J ace étant définie par les formules
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toute courbe tracée sur cette surface est représentée par ces mêmes formules, oà les variables u et v sont considérées comme dépendant l'une de Vautre ou, plus généralement, comme dépendant d'un même paramètre.
En effet, dire qu'une courbe (C)
est tracée sur la surface (S)»définie par les relations (6), c'est dire que, pour toute valeur de /, les trois équations
admettent des solutions communes en u et ^. Or soit to la valeur de t qui correspond à un point simple (^oî^o? ^0) de la courbe (C), point qui peut d'ailleurs être simple ou multiple pour la surface (S); soit (uq, Çq) le couple de valeurs de u et v qui correspond à ce point, s'il est simple, ou, s'il est multiple, l'un des couples qui le donnent. Les trois fonctions /"sont développables (fin du n° 5) suivant les puissances de u — Uq et de {> — Vq; d'autre part, les trois fonctions cp sont développables (n® 1) suivant les puissances de / — to et l'une d'elles aU moins contient un terme en t — ^o) supposons que ce soit la première. Dès lors on peut, de l'équation cpi =/i, déduire (n® 5) pour t une série procédant suivant les puissances de u — Uq et de ^ — Vq
(11) t = tQ-ha{u — Uo)-\- b{v — t^o)-+-
En substituant cette expression de ^ dans l'équation cpa =f2} on obtient une relation de la forme ^{u, ç) = o, la fonction <^ étant développée suivant les puissances de u — Uq et de p — Çq» D'après les résultats du n** 1, les variables u, v, liées par cette équation, peuvent être représentées, aux environs du couple (wo, Po)? par un ou plusieurs systèmes de deux séries procédant suivant les puissances entières d'un nouveau paramètre iv et l'un de ces couples de développements
(12) u='hi(w)y ç=z^^{w),
ainsi que celui qui en résulte pour t d'après la relation (1 1), étant substitués dans l'équation cpj =fz la vérifient identiquement, puisque la courbe (C) est supposée tracée sur la surface (S). L'existence des relations (12) établit et précise notre énoncé.
l4 CHAPITRE PREMIER.
10. Des définitions précédemment données pour les courbes et les surfaces il résulte que,/?a/' toute courbe, on peut faire passer une infinité de surfaces. En effet, étant donnée une courbe
il existe évidemment une infinité de systèmes de trois fonctions
(6) a:=/,(i/,pX y=fi{u,v), z=fz{u,v)
propres à définir une surface, et qui, pour une valeur v ^=^{>q assignée à l'avance, se réduisent respectivement à ©«(m), ^^{u)^ fz{u); à chacun de ces systèmes correspond une surface qui passe par la courbe considérée.
On appelle intersection de deux surfaces le lieu des points communs à ces deux surfaces. D'après ce qu'on vient de voir, toute courbe plane ou gauche peut être considérée comme formant en partie, sinon en totalité, l'intersection de deux surfaces. Ainsi, la courbe
est commune aux deux cylindres
y^ — z.v = o, x^ — y=zo;
mais elle ne forme pas toute leur intersection, dont fait évidemment partie la droite a; =^y = o.
La réciproque du théorème précédent est loin d'être évidente, à raison des définitions que nous avons adoptées ; il y a donc lieu de démontrer que les points communs à deux surfaces forment une courbe ou un système de courbes. Pour établir cette proposition, considérons un point M^Xo^yo^ ^o)j simple ou multiple, commun à deux surfaces (S) et (S). Tous les points de (S) situés au voisinage de M peuvent être représentés (n" 5) par un ou plusieurs systèmes de développements tels que le suivant
(7) 37 = 070+ «l(«— Wo) -h 6l(p — t^o)+- ..,
(8) J=r0"+-«2(W— Wo)-+- ^2(^~ ^'o)H-...,
(9) z = Zq-^ az(u—Uo)-^ b^iv — i>o)-i-
D'autre part, tous les points de la surface (S) situés aux environs
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de M sont représentés (n** 5) par une équation de la forme
(5) o=F(^,^,^) = (ar-;ro)F;^4-(^-7o)F;^-l-(^-^o)F;^-4-...,
où les termes du premier degré peuvent manquer. Des formules (7), (8) et (9) tirons les différences x — oc^^ y — y^, z — ^o pour les porter dans l'équation (5). Nous obtenons une relation
qui devra être vérifiée par les paramètres (m, p) de tout point voisin de M et commun à deux nappes des surfaces (S) et (S).
Réciproquement, à tout couple (m, (^), suffisamment voisin de (wo, ^'o)? qui vérifie l'équation ^ = correspond un point commun aux deux surfaces. En effet, ce couple, substitué dans les formules (n), (8) et (9), donne un point de la surface (S), et ce point appartient à la surface (S) puisque l'équation ^ = o, qui n'est autre que l'équation F = o, est vérifiée.
Or l'équation <ï> = o ne se réduit pas à une identité, sans quoi les deux surfaces (S) et (S) coïncideraient, au moins dans une certaine région. On peut donc en tirer (n® 1) pour w et p un ou plusieurs systèmes de développements procédant suivant les puissances entières d'un nouveau paramètre /. Par suite, en vertu des formules (7), (8), (9), les coordonnées des points voisins de M et communs aux deux surfaces s'expriment par un ou plusieurs systèmes de séries entières en t. Ces points forment donc une ou plusieurs courbes.
Remarque, — Cette démonstration ne s'applique, pas plus que celle du n® 9, aux suites continues qui seraient formées de ces points que nous avons appelés exceptionnels (n** 5). Il n'en sauralt être autrement, puisque ces singularités supérieures n'ont été définies que par un caractère purement négatif, qui n'apprend rien sur la représentation de la surface dans leur voisinage.
l6 CHAPITRE II.
