IV. — Sphère osculatrice
7. La sphère, dépendant de quatre paramètres, peut avoir un contact du troisième ordre avec une courbe en un point P(x,y^ z). Si l'on désigne les coordonnées de son centre par ^i, ^i, z^, son rayon par p, el qu'on suppose x, y, <z fonctions d'une variable t, on aura les quatre équations
Or, si l'on considère x^y y^^ Z{ comme des coordonnées courantes, l'équation J;'(/) = o représente le plan normal en P, et les deux suivantes s'en déduisent par différentiation. Donc le centre de la sphère osculatrice est au point où la droite polaire touche son enveloppe, et le lieu des centres des sphères osculatrices est l'arête de rebrousse ment de la surface polaire. On voit qu'on peut poser d'après cela
(i3) a?, = :r-ha'R + a'7, ^^ = j -^ p' R + p"/, z^ = z -^ ^'K-h^' l,
l étant la longueur qu'il faut porter à partir du centre de courbure sur la direction positive de la droite polaire pour obtenir le point {x^^ y^^ Z{), Nous la déterminerons en exprimant que la tangente au lieu du point (^i,y<, z^) es>l perpendiculaire à la normale principale de (C), ce qui donne
' ^^^ ft' ^^^ ' ^^^ — ds ^ ds ^ ds ^ '
Si l'on différentie x^, yt, z^ en tenant comple des formules fondamentales, il vient
/ ,x dxy ,(l dK\ „fdl R\
et deux expressions analogues. En les substituant dans la relation précédente, on trouve
05) ^ = -tS-
A.iDsi est déterminé le centre de la sphère osculatrice (i6) a?! = a7-t-a'R — a'T -j-, j^i=..., 5,=
Son rayon p est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont R et / sont les côtés. On a donc
La sphère osculatrice au point P, ayant son centre sur la droite polaire de P et passant en ce point, est coupée par le plan osculateur suivant le cercle osculateur. De plus, la caractéristique de la sphère osculatrice est le cercle osculateur. Pour l'établir, il suffit de prouver que cette caractéristique est située dans le plan osculateur. Or ses équations sont
(ar — a?, )* -4- (^ — ^1 )s -h (2 — ^1 )» — p2 = o,
Mais les formules (i4) et (i5) donnent
/.«^ 1 f^ - JL ^ — Lf^»-__Ç fL {t — \
^^ a' ds " i^" ds ~ Y ds '~ T ds\ ds)'
de sorte que l'équation du plan de la caractéristique peut s'écrire
- K(— .) + P'(r-r.) + T'(— .)] [I -*- â (tJ )] + p g = o.
Ce plan est parallèle au plan osculateur. Je dis qu'il passe en P. En effet, si x^ y^ z sont les coordonnées de ce point, les formules (16) donnent Xk — x^ yi — y, z^ — -s, et il vient
ce qui est une identité, à cause de la formule (17).
8. Considérons une courbe gauche (C) et la courbe (Ci) lieu des centres Mj des sphères osculatrices aux divers points M de (C). Le plan osculateur à (C) en M est perpendiculaire à la droite polaire KM| et, par suite, parallèle au plan normal de (Cj) en Mi .
Le plan oscillateur à (C|) en Mi, aj^ant pour caractéristique la
droite polaire KMi, se confond avec le plan normal à (C) en M.
Ainsi l'angle de deux tangentes de (G| ) est égal à l'angle de deux
plans osculateurs de (C); et l'angle de deux plans osculateurs
de (C|) est égal à l'angle de deux tangentes de (C); on a donc,
au signe près,
ds\ ds ds\ ds
5|, R|, T| désignant respectivement l'arc, le rayon de courbure et le rayon de torsion de (G|). Ces formules donnent
RR, = TTi.
Elles font aussi connaître R| et T|. Car, des relations (18) on tire, au signe près,
c?5i R d /-dK\ -ds =T-^-'^"^^'
ds\ ds I
9. Nous pouvons maintenant généraliser une propriété de l'hélice circulaire (Chap.V,n®5): Toute courbe à courbure constante
Fig. 7.
est le lieu des centres de courbure de la courbe lieu de ses centres de courbure. En effet, la courbe (C) ayant sa courbure constante, il résulte de la formule ( 1 5 ) qu'en chacun de ses points M son centre de courbure K se confond avec le centre M| de la sphère osculatrice. Je dis que le centre de courbure de (Ci), relatif au point M|, est précisément le point M. En effet, le centre de courbure cherché est à l'intersection du plan osculateur en M< avec la droite polaire de ce point. Or le plan osculateur de (C|) en M|
est le plan normal DM|M de la courbe (C). La droite polaire de Ml est la caractéristique du plan normal de (C|) en M|, qui se confond ici avec le plan osculateur de (G) en M; donc la droite polaire de M| est la caractéristique du plan osculateur de (C) en M, c'est-à-dire la tangente MT, et le point où MT perce le plan DM| M c'est le point M lui-même. Ainsi il y a réciprocité entre les deux courbes (G) et(G|), chacune d'elles étant le lieu des centres de courbure de l'autre.
10. Problème. — Étant donnée une courbe gauche (C), trouver toutes les courbes qui l'admettent comme lieu des centres de leurs sphères osculatrices ,
La question revient à trouver les courbes dont les plans normaux sont les plans osculateurs de la courbe (Gi). Gherchons donc dans chaque plan osculateur de (Gi) un point M, dont le lieu soit une courbe normale à ce plan. Tout point M du plan osculateur en M.x{x^^ yi, Zi) peut être rapporté à la tangente et à la normale principale prises comme axes mobiles; si u et v sont ses coordonnées relatives, ses coordonnées absolues seront
les lettres affectées de l'indice i désignant les cosinus des directions principales de la courbe (Gi) ; soient de plus 5| , Ri , T| l'arc, le rayon de courbure et le rayon de torsion de (Ci ). On aura, par différentiation,
dx f du V \ , ( u dv \ a'[ (
et deux relations analogues. Écrivant que la direction dx^ dy^ dz est perpendiculaire à la tangente (ai, p,, y,) et à la normale principale (a*,, p'^, y'J, nous trouvons
du V do u
-T —--4-1 = 0, -1 hô- = o-
dsi Ri dsi Kl
Après le changement de variable rfo- = ds^ \ Rj, ces équations deviennent / X du ^ dv
On en déduit immédiatement, par élimination de </,
équation dont l'intégrale générale est
c = a sin j -f- 6 cosj — cosff / sin» rfs -h sinj / cosjû?5,
a et 6 étant deux constantes arbitraires; la seconde des équations (21) donne alors
a = a cosT — 6 sinT — sinj / sin ff âfs -{- cos d / ç.o%^ds.
— sinj / sin <y âfs -{- cos (T /
Dans chaque plan osculateur de (Ci) les points cherchés sont donc en nombre doublement infini, puisqu'ils dépendent de deux constantes arbitraires a, 6. Ces constantes une fois choisies, le point correspondant M décrit, quand M| varie sur (C<), une courbe trajectoire orthogonale du plan osculateur de M| . On peut, en considérant a et 6 comme des fonctions d'un paramètre t^ grouper dans chaque plan osculateur les points M de manière à en former une courbe (F). Les fonctions a et è étant choisies, les courbes (F), situées dans les divers plans osculateurs de (Ci ), sont toutes égales entre elles; ce sont les diverses positions d'une même courbe. Le lieu des courbes (F) dans l'espace est une surface qui, le long de chacune d'elles, coupe à angle droit le plan de cette courbe. Nous reviendrons sur ces surfaces, à propos de la théorie des lignes de courbure, à la fin du Chapitre VIIL
