V. — Courbes sphériques

H. Ce qui précède permet de caractériser les courbes sphériques. Une courbe étant tracée sur la sphère que représente la première des équations (la) quand on y considère x^^ y^^ z^ et comme des constantes, tous les points de cette courbe vérifient cette équation et toutes celles qui s'en déduisent par différentiation, notamment les trois dernières équations (12). Donc la sphère osculatrice est la même en tous les points de la courbe; c'est la sphère qui porte celte courbe. De cette propriété, qu'on peut

considérer comme évidente, il résulte qu'on a, en tous les points d^une courbe sphérique,

(22) R2-+- T2 (^-)*= const.

Réciproquement, si le rayon de la sphère osculatrice est le même en tous les points d'une courbe, cette courbe est sphérique, à moins qu'elle n'ait sa courbure constante. Reportons-nous, en effet, aux formules (i4) et (i5); appelons T', R', R'Mes dérivées de T et de R par rapport à 5; les formules (18) deviennent

Mais, si l'on différentie l'équation (22), on trouve

R'(R-+-TrR'-hT2R'') = o.

Donc, si la courbure n'est pas constante, le dernier membre des équations (18)' est nul; la sphère osculatrice a son centre fixe, et son rayon, par hypothèse, est constant. Donc elle est la même en tous les points de la courbe considérée qui, par suite, est sphérique. Ainsi, pour qu'une courbe à courbure variable soit sphérique ^ il faut et il suffit que le rayon de la sphère osculatrice soit constant, ce qui s'exprime par l'équation (22). Mais, en vertu des formules (18), c^est la relation

qui caractérise les courbes sphériques.

Pour compléter, nous allons prouver que les courbes sphériques à courbure constante sont des cercles. En effet, les coordonnées de tous les points d'une courbe sphérique rendent

identique la relation

a?* -^y^ -+- -s2 = const.

Différentions-la deux fois par rapport à l'arc; nous aurons

eux -\-^y -\-^z =0y a'a7-+- p'j^-H y'-5 -H R = o.

Comme R est supposé constant, si l'on différentie une fois de plus, R. 9

]3o CHAPITRE VI.

en ayant égard aux formules fondamentales, il viendra

On conclut de là que la torsion est nulle, et, par suite, la courbe plane; car, si l'on supposait T fini, le numérateur serait nul, et une nouvelle différentiation donnerait

ol'x -h ^'y ■+- y'^ R __ I

?F "^ rp O, pp O,

contrairement à Thypothèse. En conséquence, les courbes sphériques à courbure constante, étant planes, sont des cercles.

Remarque. — Voici une propriété générale, presque évidente, des courbes sphériques. Les rayons qui vont du centre d'une sphère aux divers points d'une courbe (C) tracée sur elle sont des normales de cette courbe, et ils forment un cône, surface développable. Donc, si l'on fait tourner chacun de ces rayons d'un angle constant autour de la tangente à (C) en son extrémité, il reste tangent à une développée de cette courbe (Ch. V, n°10, i°). Ainsi Von détermine sans quadrature toutes les développées d^une courbe sphérique quelconque. En particulier, Tune de ces développées est l'enveloppe des normales menées à la courbe dans les plans tangents à la sphère sur laquelle elle est tracée.