VI. — Contact de deux courbes de l'espace

12. Quand deux courbes de l'espace (C) et (C), planes ou gauches, ont en commun un point simple P, on dit qu'elles ont en ce point un contact d^ordre /?, si, à tout point Q, infiniment voisin de P sur la courbe (C), on peut faire correspondre sur la courbe (C) un point Q' tel que la distance QQ' soit un infiniment petit d'ordre n + i par rapport à la corde PQ.

Appelons x^y^ z les coordonnées de P; a^i, y<, Z| celles de Q; Xk + a, y, -I- p, ^1 4- Y celles de Q' {^fig^ 8), la courbe (C) étant définie par deux équations

F(^» r» -5) = o, G(ar, y, z) = o.

CONTACTS DES COURBES ET DES SURFACES. l3l

Exprimons que le point Q' est sur cette courbe; nous aurons

( = G(a7i+a, ...) = G(a7i,7t, Zi) -h cLG^j^h p Gj, -h y ^^1 "^

On a, d'autre part, X, [x, v étant les angles des axes,

QQ' = /a2 + p2 j ^2 | 2 ap cos v -+- 2 Py cos X -H 2 ^a cos jx,

ce qui montre que l'une au moins des longueurs a, j3, y est de Tordre n -\- i par rapport à PQ, les autres pouvant être d'ordre supérieur. Par suite, les deux expressions ¥[x^^yi^ z^) et G(^i , y^ , ^i) sont d^ ordre n-\-i.

Réciproquement, s'il en est ainsi, choisissons arbitrairement pour a une expression de l'ordre /i + i ; les équations (24) donneront pour p et Y des expressions du même ordre; la distance QQ' sera aussi de l'ordre /i -f- 1 ; les deux courbes auront un contact d^ ordre /i.

Le raisonnement précédent suppose que l'un au moins des trois déterminants

ne soit pas infiniment petit. Mais, s'il en était autrement, les trois déterminants

FiGV- Fj^Gi, f;g;- f;g;, F^Gi- f;g;,

qui diffèrent infiniment peu des précédents, ayant des valeurs

l32 CHAPITRE TI.

fixes, seraient rigoureusement nuls. On verra, en se reportant aux développements des Chapitres I et II, qu'on peut toujours, le point. P étant supposé point simple de la courbe (C), donner aux fonctions F et G des formes telles que cette circonstance pe se produise pas. Il suffit, pour employer le langage géométrique, de faire passer par (C) deux surfaces F= o et G= o pour lesquelles le point P soit un point simple et qui ne se touchent pas en ce point. Comme il en sera toujours ainsi dans les applications qui vont suivre, nous n'insisterons pas davantage, et nous conclurons :

Pour que deux courbes (C) et (G) aient en P un contact d^ ordre n, il faut et il suffit que les coordonnées d'un point Çl^ infiniment voisin de P sur (C), étant substituées dans les premiers membres des équations de la courbe (C), donnent des résultats de V ordre n-\- 1 par rapport à la distance PQ.

En raisonnant comme au n® 2, on verra que, si la courbe (C) est définie par les formules

l'infiniment petit PQ est de l'ordre de dt. Si donc on pose

'K0= F[?i(0, ?ï(0, ?3(0], x(0 = G[cpi(o, ?2(0, ?3(0L

les développements de (p(< + A) et de x(^^"^) suivant les puissances de h devront commencer par les termes en A'*'*"*. En conséquence, on devra avoir

Ainsi, il faut in-\-% conditions pour exprimer que deux courbes de V espace ont en un point donné un contact d'ordre n, tandis qu'il n'en faut que n -f- i pour deux courbes situées dans le même plan (n® 2).

Rembarque. — Pour exprimer que les deux courbes (C) et (C) ont en un point indéterminé un contact d'ordre /i, on éliminera/ entre les 2/1+2 équations ci-dessus; de sorte qu'il ne restera plus que 2/1+1 équations de condition.

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