VII. — Droite osculatrice; cercle oscillateur

13. On définit les courbes osculatrices dans l'espace exactement de la même manière que dans le plan (n® 3). Mais il convient de signaler une différence entre les deux cas. Si un système de courbes (C) de l'espace dépend de 2 /i + a paramètres, il y aura généralement un nombre limité de courbes du système qui auront en un point donné P un contact d'ordre n avec une courbe (C) donnée. Si les courbes (C) dépendent de paramètres en nombre impair, 2/1 + 1 par exemple, on ne pourra établir qu'un contact d'ordre n — i en un point donné (P) entre une courbe donnée (G) et certaines des courbes (C'); mais le contact d'ordre n — i n'imposant que 2/1 conditions, ces courbes osculatrices (C) seront en nombre infini, un paramètre restant arbitraire dans leurs équations.

Cette observation n'empêche pas d'étendre aux courbes de l'espace la propriété importante établie au n° 4. La démonstration étant la même, nous nous contenterons d'énoncer le résultat : Une courbe de V espace {QJ) dépendant de 2/1-1-2 paramètres, si on V assujettit à rencontrer une courbe donnée {C) en un point fixe P et, de plus, en n autres points voisins de V^ puis qu^on fasse tendre ces n points vers P, la courbe (C) tendra vers Vune des courbes de son espèce, osculatrices enVàla courbe (G).

14. Les équations d'une droite contenant quatre paramètres, on pourra établir un contact du premier ordre entre une droite et une courbe (G) en l'un de ses points P. D'après le théorème que nous venons d'énoncer, la droite osculatrice en P est la position limite d'une sécante issue de P quand son second point d'intersection avec la courbe tend vers ce point. Ainsi, la droite osculatrice n^est autre que la tangente*

Les équations d'un cercle peuvent toujours être ainsi écrites

G = /(a? — xi) -\- Tn{y — y^) -^ n{z — z^) =0. Elles contiennent six indéterminées, savoir les coordonnées du

l34 CHAPITRE YI. — CONTACTS DES COURBES ET DES SURFACES.

centre et le rayon d'une sphère, ainsi que les deux paramètres directeurs d'un plan passant par le centre de cette sphère. On pourra donc établir un contact du second ordre entre un cercle et une courbe donnée (C) en un point P. Si Ton conçoit que les coordonnées Xj y, z des points de (G) soient remplacées dans F et G par leurs expressions en ^, les fonctions F et G seront identiques à celles que nous appelions plus haut J^(^) et x(^)* ^ l'équation <}i=:o nous devons associer les deux équations dérivées i^'{t) = o, i^" {t) = o. Mais on a

\^'{t) = {x — Xi)x'-h-{jr—yi)y'{-{z-'Zi)z',

ce qui montre que, si l'on considère les inconnues ^i, y^, Z\ comme des coordonnées courantes, l'équation ^'{t) = o définît le plan normal à (C) au point P(:r, y, z). En conséquence le système formé par cette équation et sa dérivée ^J^^'(^)= o représente la droite polaire de (G) relative au point P. Donc le centre du cercle osculateur est sur cette droite.

Écrivons maintenant les trois autres équations du problème :

^'(/) = Ix' ■+- my' -+- nz' = o, On en déduit immédiatement, en éliminant /, m et n,

A, B, C étant les coefficients de l'équation du plan osculateur. Ainsi le centre cherché (^i, y^^ ^i) est dans le plan osculateur de (G) au point P. Gomme il est aussi sur la droite polaire de ce point, il se confond avec le centre de courbure. On voit que le cercle osculateur est situé dans le plan osculateur et qu'il a même centre que le cercle de courbure. En conséquence, le cercle osculateur d'une courbe quelconque, plane ou gauche, se confond avec son cercle de courbure.

COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES. l35