I. — Théorème de Meusnier

1. Proposons-nous d'étudier la courbure des courbes tracées sur une surface et passant par l'un de ses points M(^, jk, ^)- Considérons Tune de ces courbçs (C). Son centre de courbure K est à l'intersection de sa droite polaire avec son plan osculateur. Écrivons les équations de la droite polaire (D) :

(i) (X — x)dx -^{Y~-y)dy -^{Z — z)dz = o,

(■2) (X — x) d^x H- ( Y — jk) d^y -^{Z — z)d'^z = ds^ ;

les différentielles sont prises par rapporta la variable dont dépendent les coordonnées x, y, z et l'arc s de la courbe (C). Cherchons le point N où la droite (D) rencontre la normale MN à la surface. Soient a, 6, c les cosinus de la direction choisie comme direction positive sur cette normale, et R la longueur du segment qui va de M en N, comptée positivement dans la direction (a, 6, c), négativement en sens contraire. Si X, Y, Z sont les coordonnées de N, nous aurons

(3) X — ar = aR, Y— j^ = ^R, Z - « = cR.

Substituons ces expressions dans les équations de la droite polaire; la première deviendra

(4) adx -\- bdy -\- cdz = o,

identité qui est vérifiée pour toute direction (rf^r, dy^ dz) du

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plan tangent; la seconde donne la longueur cherchée

Si Ton difTérentie l'identité (4), on trouve

ad'^x -\- b d^y -+- cd^ z= — {da dx -\- db dy -^ de dz), ce qui permet d'écrire

da dx -\- db dy -^ de dz

Gomme les cosinus a, 6, c sont des fonctions de deux des coordonnées^ X el y par exemple, on aura

I __ / da dx da dy\ dx R "~ \dx ds ~^ dy ds ) ds

On voit que la longueur R est la même pour toutes les courbes de la surface qui ont en M la même tangente MT; elle correspond, en particulier, à la section faile dans la surface par le plan qui contient la normale MN et la tangente commune MT (^section normale). Donc les droites polaires de toutes les courbes tracées sur une surface par un de ses points M, et tangentes en ce point à la même droite MT, concourent en un même point N, qui est le centre de courbure de la section normale passant par la tangente MT.

Prenons pour plan de la figure le plan mené par M perpendiculairement à MT; et soit MR {fig. 9) la trace du plan osculateur à la courbe (C). La droite polaire (D) est perpendiculaire à MK et passe en N ; donc le centre de courbure K est la projection de N sur le plan osculateur. D'où cet autre énoncé :

Théorème. — Une courbe quelconque (G) étant tracée par un point M d^une surface, son centre de courbure relatif au point M est le point de son plan osculateur en M où se projette le centre de courbure de la section normale qui a même tangente en M que la courbe (G).

En particulier, le centre de courbure d^une courbe quelconque, tracée par un point M d^une surface, coïncide avec celui de la section faite dans la surface par son plan oscula-

teur en M, ce qui restreint l'étude aux sections planes. On voit aussi que le centre de courbure d^une section oblique d^une surface est la projection de celui de la section normale qui a même tangente : c'est là le théorème de Meusnier.

Il revient à dire que les centres de courbure K des sections faites dans une surface par un plan qui tourne autour d'une tangente fixe MT sont situés sur un cercle dont le plan est perpendiculaire à la tangente MT en son point de contact M, et qui a pour diamètre le rayon de courbure MN de la section normale déterminée par MT.

Remarque. — Le procédé que nous avons employé pour déterminer le centre de courbure K tombe visiblement en défaut quand la courbe (C) admet pour plan osculateur en M le plan tangent à la surface; car alors la droite polaire (D) et la normale MN sont parallèles. Nous retrouverons plus loin ces courbes sous le nom de lignes asymptotiques,