II. — Courbure des sections normales; indicatrice

2. D'après le théorème précédent, il suffît d'étudier le rayon de courbure des diverses sections normales d'une surface autour d'un de ses points. A cet effet, on rapporte la surface à sa nor-

l38 CHAPITRE YII.

maie MN prise pour axe des z^ et à deux droites rectangulaires Mx, My de son plan tangent. Si l'on fait coïncider la direction positive de la normale avec celle de l'axe Mz, les cosinus a, b, c ont respectivement pour valeurs 0,0, t ; et le z du centre de courbure d'une section normale se déduit des formules ( 3) et (5 ), qui donnent ici

Or, le plan tangent étant pris pour plan des xy^ les dérivées premières de z sont nulles à l'origine, et l'expression générale de d^z se réduit à

To dx^ -^ 2Sodx dy -h to dy^.

Le rayon de couirbure R de la section normale qui contient la direction {dxy dy) est donc déterminé en grandeur et signe par la formule

ï / dx\^ dx dy

qu'on peut encore écrire

(7) — = To cos*u) -H 2^0 costu sin 0) -h ^0 sin*ou,

en représentant par w l'angle que fait avec l'axe Mo; la trace du plan normal considéré sur le plan ^ = o.

Le centre de courbure est situé, par rapport au plan tangent, du côté des z positifs, ou du côté opposé, suivant que les valeurs attribuées à o> rendent R positif ou négatif. Il y a donc lieu de distinguer trois cas.

1° Soit s\ — A-Q^o^ o. Quel que soit l'angle w, le trinôme (7) a un signe constant. Toutes les sections normales ont leurs centres de courbure situés d'un même côté du plan tangent. Par suite, aux environs de l'origine, tous les points de la surface sont d'un même côté de ce plan. On dit alors que la surface est convexe autour de l'origine. Si l'on a choisi pour direction positive de O-s la demi-droite située du même côté du plan tangent que la surface, R est toujours positif. On peut poser R = p^ et l'on a

(8) P'C^'o cos*(jj H- 2^0 costi) sino) -h ^osin'w) = i ;

COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES. iSq

on voit que p est le rayon vecteur de l'ellipse

(9) roa:^-^isoxy-^ hy^= i,

appelée indicatrice àe la surface au point M. Ainsi le rayowde courbure R d^ une section normale est égal au carré du rayon vecteur de V indicatrice, qui est dirigé suivant la trace de cette section normale.

Il présente donc deux valeurs maxima et deux valeurs minima qui correspondent aux directions principales de l'indicatrice.

2® Soit si — To ^0 !> o- Le signe du trinôme (7) dépend des valeurs de (0. Les sections normales ont donc leurs centres de courbure situés de part et d'autre du plan tangent. Par conséquent la surface présente, aux environs de l'origine, des régions situées les unes d'un côté du plan tangent, les autres de l'autre. On dit qu'elle est à courbures opposées autour de l'origine. Si l'on pose encore R = p^, l'équation (7) donne, comme plus haut, les équations (8) et (9); mais ces équations représentent ici une hyperbole ayant pour asymptotes les droites

rQX^-\- 7.SQxy -f- tQy^= o.

Dans l'angle des asymptotes où est l'hyperbole indicatrice (9), tous les diamètres sont transverses; donc p^ et R sont positifs : la surface est située, par rapport au plan tangent, du côté des z positifs. Dans l'autre angle des asymptotes, les diamètres sont des diamètres non transverses; p^ et R sont négatifs ; la surface est située du côté des z négatifs.

Pour les sections normales qui contiennent les asymptotes de l'indicatrice, R est infini. Ces deux sections présentent en M une inflexion; elles traversent, en ce point, le plan tangent. La valeur algébrique de R admet encore deux maxima et deux minima, qui correspondent aux axes de l'indicatrice.

3® Soit enfin s\ — ro^ô = o« Le trinôme {n) est un carré parfait; par suite, R conserve toujours le même signe. Aux environs de l'origine, tous les points de la surface sont d'un même côté du plan tangent, qu'on peut prendre pour côté des z positifs. Si l'on pose R=: p^^ on retrouve les équations (8) et (9). Ces équations représentent ici une conique du genre parabole; mais cette

l4o CHAPITRE YII.

conique, ayant un centre, se décompose en deux droites parallèles

(lo) (rox-hSoyy = ro,

On donne encore au système de ces deux droites le nom d'mdicatrice et Ton dit que le point M est un point parabolique. Le rayon de courbure R des sections normales passant en M varie entre l'infini, qui corresponde la direction ro^-f-5oy = o, et un minimum qui correspond à la direction perpendiculaire.

En résumé, nous reconnaissons que, dans tous les cas, le rayon de courbure d^une section normale est égal au carré de celui des rayons vecteurs de V indicatrice qui est dirigé suivant la trace de cette section normale,

3. Si, dans le plan des xy^ on prend pour axes de coordonnées les axes de l'indicatrice, Téquation de cette conique ne contient plus de terme en xy et le rayon de la section normale d'azimut w est donné par la formule

(7)' ^ = To cos'o) -+- ^0 siii't«>*

Appelons ^^ et R2 les rayons de courbure des sections co = o et (0 = -> qui passent par les axes de l'indicatrice; nous trouvons

l'équation (7)' prend donc la forme

, ^ I cos'o) sin'b)

R Ri ' R,

C'est la formule d'Euler. On en déduit que les rayons de courbure R e^ R' de deux sections normales rectangulaires satisfont à la relation

s + R' = ïï; + 5; = •=""*'••

qui exprime la propriété bien connue des longueurs de deux diamètres rectangulaires d'une conique. Tout ce qui précède subsiste pour les points paraboliques. Seulement l'un des rayons de courbure principaux est infini. Il suffira, dans les formules, de supprimer les termes où Rg figure en dénominateur.

4. Nous allons voir que rindicatrice représente non seulement la courbure des sections normales d'une surface en un point, mais aussi la forme même de la surface aux environs de ce point. Transportons, en effet, l'origine des coordonnées au point considéré, et prenons pour axe des z la normale, pour plan des xy le plan tangent. Le point M étant supposé un point simple, si l'on considère z comme une fonction de x et y, ses dérivées de tous les ordres auront à Torigine des valeurs bien déterminées; celles du premier ordre seront nulles; soient /'o, ^o, t^ celles du second. La formule de Maclaurin donnera

S désignant des termes d'ordre au moins égal à trois par rapport à 0? et à ^. Si l'on néglige ces termes, on substitue à la surface une quadrique qui en diffère fort peu dans le voisinage de l'origine. Cette quadrique est un paraboloïde elliptique, un paraboloïde hyperbolique ou un cylindre parabolique, suivant que l'expression s\ — To^o ^st négative, positive ou nulle.

Coupons la quadrique par des plans parallèles au plan tangent. La section par ce plan lui-même se compose de deux droites

qui seront imaginaires, réelles ou confondues suivant les trois cas précités. La section faite par un plan ^ = A ^ o sera une conique homothétique de l'une des deux coniques

le sigue plus correspond aux sections 2 = A ]> o, le signe moins aux sections ^ = A <C o. L'une de ces deux coniques est \ indicatrice; l'autre est imaginaire quand s\ — ro^o est négatif ou nul, et coïncide avec l'hyperbole conjuguée de l'indicatrice quand s\ — To^o est positif. Ainsi l'indicatrice suffit dans tous les cas à faire connaître la forme des sections de la surface par des plans voisins d'un plan tangent et parallèles à ce plan.

5. Remarque, — La théorie de la courbure des lignes tracées sui* une surface suppose que le point considéré est un point simple, de sorte qu'en ce point toutes les dérivées de z, en parti-

1^1 CHAPITRE Yll.

culier celles du premier et du second ordre, ont des valeurs parfaitement déterminées. 11 peut n'en être pas ainsi en certains points d'une surface. Considérons, par exemple, l'équation

où (f désigne une fonction du rapport u =y l x. On en déduit

dz , . r(ï-H w*)cp7w) dz , . 37(1 -h a') cpVw)

=^<p(„)z — 5^3^^^ ^=^<p(«)+ :fL^-i-

Ces dérivées sont nulles au point ^=j/-=o, si la fonction ^(w) et sa dérivée cp'(w) ne deviennent infinies pour aucune valeur réelle de u. Mais, en calculant les dérivées secondes de >5, on voit aisément qu'elles se présentent à l'origine sous une forme indéterminée, parce que leurs valeurs dépendent du rapport m, qui reste arbitraire. L'origine n'est donc pas un point simple et la théorie générale ne s'applique plus. Néanmoins, l'axe des z est normal à l'origine à toutes les sections faites dans la surface par les plans qui le contiennent. En eflTet, la section j^ = ux est une parabole, représentée dans son plan par l'équation p^ç(ii) = 2>5, et dont l'axe coïncide avec l'axe des ;;. Cela posé, il est facile de trouver le rayon de courbure R de chaque section normale yz=.ux^ étant donnée la valeur de w; car cette parabole a pour paramètre l'inverse de 'f (w). C'est aussi le rayon de courbure en son sommet, en vertu d'une propriété de la parabole (Ch. IV, n** 9); on a donc

d'où il résulte que, quand le plan sécant tourne autour de la normale, le rayon R peut, suivant la forme de la fonction ç, devenir plusieurs fois infini et passer par des maxima et minima en nombre quelconque. C'est ce qui arrivera, par exemple, pour la surface représentée par l'équation