a?^-^- j^')sin/na), (a> = arctang

la courbure de la section normale d'azimut co étant égale à sin/nco.

COURBURR DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES. l43

III. — Sections principales et rayons de courbure principaux.

6. On appelle directions principales d'une surface en un point les directions des axes de Pindicatrice; sections principales les sections normales qui passent par ces axes; rayons de courbure principaux les rayons de courbure des sections principales.

Avant de déterminer les directions principales et les ravons de courbure principaux en un point d'une surface, donnée par son équation, nous chercherons le rayon de courbure d'une section normale quelconque. A cet effet, partons de la formule

où x^ y^ z sont les coordonnées du point M que Ton considère; a, 6, c les cosinus directeurs de la normale à la surface en ce point; 0" et R l'arc et le rayon de courbure d'une section normale ; d^x^ d^y^ d^z les différentielles des coordonnées de cette section. Choisissons comme direction positive de la normale celle qui fait un angle aigu avec la direction positive de l'axe des 5; nous aurons

abc I

— P —<1 * \/\-\-p^-\-q^ le radical étant pris en valeur absolue. Par suite

Mais comme on a, pour toute courbe tracée sur la surface,

dz — p dx — q dy = o, il vient, après différentiation,

d^z — p d^x — q d^y = r dx^ 4-25 dx dy -+- t dy^.

Finalement nous trouvons, pour la courbure cherchée,

*^ \/i-hp^-hq^

en désignant par a et ^ les cosinus directeurs dx\d(T et dy\d<T de la tangente à la section.

l44 CHAPITRE YII.

Remarque. — En vertu de la relation Z — z = cR, l'une des formules (3) de ce Chapitre, l'expression

sera la valeur algébrique de la différence Z — z entre le z du centre de courbure N de la section normale et celui du point M.

7. D'après la formule (12), les directions principales sont celles dont les cosinus a, p, y rendent maximum ou minimum le trinôme rtt2+ 25aP + ^P^ et, par suite, satisfont à l'équation

(i3) {roL -\- s^) dd -V- {si -i- t^) d^ = o,

qui résulte de la différentiation de ce trinôme. Or on a toujours

et, de plus, pour les droites tangentes à la surface,

/ /\ dz dx dy o '

Nous pouvons donc écrire

(i5) a«-+-p2-f-(/?aH-7p)«=i,

d'où résulte par différentiation

(16) [(I -f-/?2)a -\-pq p] dd -f. [^^a H- (i -h ^s)P] d^ = o.

L'élimination de rfa et de rf^ entre les équations (i3)et(i6) fournit la condition cherchée

qu'on peut aussi écrire

Les équations (i5) et (17) font connaître a et P; on a ensuite v par la formule (i4)- Ainsi se trouvent déterminées les directions principales en un point M.

8. Cherchons maintenant les longueurs des rayons de courbure principaux. Les rapports (17) sont visiblement égaux à

a[(i+jp»)a-H/?g^P]H- P[yoyaH-(f-h^^)P] a^-f- [B^ -f- (/? a -h y P )2

ce qui, en vertu des équations (12) et (i4)> n'est autre chose que

R: y/i4-/>^+^^. Si donc on désigne désormais par R l'un des rayons de courbure principaux, on aura le système

( v/n-/?2-t-^^[P(i-h^2)-H/?^a] — R(sa -h^P) = 0;

d'où l'on déduit en éliminant R l'équation (17), et en éliminant a et p l'équation cherchée

Telle est V équation aux rayons de courbure principaux. On voit immédiatement qu'elle a toujours ses racines réelles; car pourR = o son premier membre acquiert la valeur essentiellement positive (i 4- /?2+^^)^, tandis qu'il se réduit à un carré précédé du

signe moins quand le rapport Vs.\\l \-\- p^ -\- q^ reçoit l'une des deux valeurs (i +/?^) : r et (1 + q-^ \ t.

L'équation (19), ordonnée, devient

R«(r^ — 52) R ^i -h jt?2-»- q^ [(i H- ^2),. ^pqs | (j -^pi)t]

La somme et le produit des inverses de ses racines ont reçu respectivement les noms de courbure moyenne et de courbure totale de la surface. Les développables ont leur courbure totale partout nulle (Ch. III, n** 19). On appelle surfaces minima les surfaces dont la courbure moyenne est nulle en chaque point, ou dont l'indicatrice est partout une hyperbole équilatère.

9. Nous allons déterminer directement les sections et les courbures principales des surfaces de révolution. Soient M un point et MN la normale à la surface, qui est contenue dans le méridien de M. Tout méridien étant un plan de symétrie de la surface, R. 10

l46 CHAPITRE VU.

deux plans menés par MN et également inclinés sur le méridien déterminent deux sections normales qui ont même rajon de courbure en M; ces rayons de courbure étant mesurés par les carrés des rayons vecteurs de l'indicatrice situés dans les deux plans sécants, on voit que ces rayons vecteurs sont égaux. Or, ils sont également inclinés sur la tangente MT au méridien. Donc MT est l'un des axes de l'indicatrice et la méridienne est l'une des sections principales. Par suite l'autre section principale est la section normale perpendiculaire au méridien. Pour trouver son centre de courbure, remarquons que cette section est tangente au parallèle du point M; d'après le théorème de Meusnier, le centre du parallèle est la projection du centre de courbure cherché; celui-ci est donc sur l'axe de révolution. D'où cette conclusion :

Théorème. — En un point d' une surf ace de révolution l'une des sections principales est la méridienne; l'autre est la section normale perpendiculaire au méridien et a pour centre de courbure le point de Vaxe de révolution situé sur la normale à la surface au point considéré.

Ainsi les rayons de courbure principaux d'une surface de révolution en un point M sont : l'un le rayon de courbure de la méridienne en ce point, l'autre la normale à la méridienne, limitée à l'axe de révolution. Par suite, la recherche des surfaces de révolution dont les rayons de courbure principaux sont liés par une relation donnée y(R<,R2)=o revient à celle des courbes planes dont le rayon de courbure R et la normale N sont liés par la relation /(R, N) = o. En particulier, si R| = R2, le centre de courbure coïncide avec l'extrémité de la normale : la méridienne est une circonférence. Si R< = — R2, l'extrémité de la normale et le centre de courbure sont symétriques par rapport à chaque point de la courbe cherchée : la méridienne est une chaînette ayant pour base Taxe de révolution (Ch. IV, n® 10, 2**). Donc la seule surface de révolution dont les rayons de courbure principaux soient égaux et de signes contraires est engendrée par une chaînette tournant autour de sa base. Celte surface a reçu le nom d'alysséide. On voit que V alysséide est la seule surface minima qui soit de révolution.

TV. — Ombilics ; surfaces dont tous les points sont des ombilics.

10. On appelle ombilics les points d'une surface où rindicatrice est un cercle. En un pareil point toutes les sections normales ont même rayon de courbure et, les axes de symétrie de l'indicatrice étant indéterminés, toutes les directions parallèles au plan tangent sont des directions principales. Les ombilics sont donc caractérisés par ce fait que l'équation (17) se réduit à une identité; d'où les deux conditions

iio)

i-hp^ pq i-i-g'^

Les deux équations (20), rapprochées de celle de la surface, déterminent en général un nombre limité de points. Néanmoins certaines surfaces présentent des lignes d^ombilics, ou même admettent tous leurs points pour ombilics.

Théorème. — Les seules surfaces réelles dont tous les points soient des ombilics sont des sphères.

Les équations (20) peuvent, en effet, s'écrire ainsi

pr s 9^ ^ ^

Les deux membres de chacune de ces équations étant des dérivées logarithmiques, en les intégrant on aura

Les fonctions X et Y introduites par l'intégration ne dépendent l'une que de x, l'autre que dej^. On a ainsi 7?^ et q^ :

Yh-i . X-+-I

^ " XY — i ' ^ "" XY — I '

Ces expressions ne sont indéterminées que si X = Y= — î, auquel cas/? et q ne sont liées que par la seule relation

qui n'admet pas de solution réelle. Les surfaces correspondantes.

l4S GHAP. YII. — COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES.

nécessairement Imaginaires, sont des développables, puisque q est fonction àe p (Ch. III, n** 19). Elles sont circonscrites au cercle de l'infini. On reconuaît sans peine qu'elles répondent à la question, l'équation (21) entraînant les équations (20). Cette solution écartée, nous avons

v/XY — i /XY - I

Identifiant les deux expressions de s tirées de ces formules, nous trouvons

X'(X + 1)""* = Y'( Y -+- i)"ï = const. = — 4;

car les deux membres, ne dépendant, l'un que de ^, l'autre que dey^ ne peuvent être égaux que s'ils se réduisent à une constante. Séparons les deux équations et intégrons-les. En désignant par a et b deux constantes arbitraires, nous aurons successivement