I. — Tangentes conjuguées et réseaux conjugués

1. Définitions, — Deux droites, tangentes à une surface en un même point, sont dites tangentes conjuguées, si elles coïncident avec deux diamètres conjugués de l'indicatrice en ce point. Leurs directions sont dites conjuguées.

Il suit de là qae, parmi toutes les tangentes conjuguées en un point d^une surface, les seules qui soient rectangulaires sont les tangentes aux sections principales.

Si deux familles de courbes tracées sur une surface sont telles que, par chaque point de la surface, passe une courbe de chaque famille, et que les tangentes à ces deux courbes soient des tangentes conjuguées, on dit que ces familles forment un réseau conjugué. Ainsi, sur toute surface de révolution, les parallèles et les méridiens forment un réseau conjugué.

Théorème. — Si Von mène les plans tangents à une surface le long d^une courbe (C), la tangente en tout point M de cette courbe {d) et la caractéristique du plan tangent en ce même point sont deux tangentes conjuguées.

Pour démontrer cette propriété fondamentale, due à Dupin, considérons le plan tangent à une surface, mené le long d'une courbe (C). La caractéristique de ce plan est représentée par

l'équation

l5o CHAPITRE YIII.

jointe à celle qu'on obtient en la difierentiant

— dz -i-pdx -^ q dy — {X — x) dp — (Y ^y)dq = o, et qui se réduit visiblement à

(X — x)(r dx -\- s dy) -h (Y -- y){s dx -h tdy) — o.

Dans cette dernière équation, dx et dy sont proportionnelles à deux des coefficients directeurs de la tangente à la courbe (C). Supposons maintenant que la surface passe à l'origine des coordonnées, ainsi que la courbe (G), et qu'on ait pris pour plan des xy le plan tangent à la surface en M. Pour ce point M, x^y^ z étant nuls, les équations de la caractéristique du plan tangent deviennent

Z = o, X{r dx -^-sdy)-^Y{sdx -^tdy)=^o.

Le coefficient angulaire m! de cette caractéristique a donc pour

valeur

, r dx -f- 5 dv

s dx -\- 1 dy

Celui de la tangente à l'origine à la courbe (C) étant m = dy\dXy

on voit qu'on a

, r -^ ms

s ->r mt

ceci n'est autre chose que la relation connue

tmm! -\- s{m -+■ m') -f- r = o,

qui lie les coefficients angulaires m et m' de deux diamètres conjugués de l'indicatrice

rx^-+- isxy -h ty^ = zhi.

Le théorème est donc démontré. Si l'on observe que les plans tangents menés le long de (C) enveloppent une surface développable^ qui est circonscrite à la proposée, on a ce second énoncé :

Une développable étant circonscrite à une surface, la tangente en un point quelconque de la courbe de contact et la génératrice de la développahle qui passe en ce point sont deux tangentes conjuguées.

LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES DE COURBURE. l5l

2. De là résulte une propriété caractéristique des réseaux conjugués, que voici :

Théorème. — Pour que deux familles de courbes, tracées sur une surface, forment un réseau conjugué, il faut et il suffit que les tangentes, menées à toutes les courbes d'une famille en leurs points dHntersection avec une courbe quelconque de Vautre famille, engendrent une développable.

En effet, les plans tangents, menés à la surface le long de cette dernière courbe (G), enveloppent une développable dont la génératrice en chaque point est, d'après ce qui précède, conjuguée de la tangente à (G) en ce point : elle coïncide donc avec la tangente à la courbe (G') de l'autre famille qui passe en ce point. Donc le lieu de ces tangentes est une développable. Réciproquement, supposons que la tangente, menée aux courbes (G') d'une famille en leurs points d'intersection avec l'une quelconque (G) des courbes de l'autre famille, engendre une développable; elle est la caractéristique du plan tangent à cette développable, nécessairement circonscrite à la surface le long de (G) et, par suite, elle est aussi la caractéristique du plan tangent à la surface, mené le long de (G). En vertu du théorème fondamental, elle est conjuguée de la tangente à une courbe (G'), ce qui prouve que le réseau considéré est conjugué.

3. Une application immédiate du théorème précédent permet de déterminer géométriquement, sur une surface quelconque, une infinité de réseaux conjugués. Gonsidérons, en effet, une droite quelconque (D), et coupons la surface par tous les plans qui contiennent cette droite; à ces sections planes, associons les courbes de contact des cônes circonscrits à la surface et ayant leurs sommets sur la droite ( D). Les tangentes, menées aux diverses sections planes en leurs points d'intersection avec la courbe de contact d'un des cônes circonscrits, forment une développable, qui est ce cône lui-même. Donc les sections faites dans une surface quelconque par les plans qui contiennent une droite fixe et les courbes de contact des cônes circonscrits qui ont leurs sommets sur cette droite forment un réseau conjugué. Cette remarque^ qui généralise la propriété des méridiens et des

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parallèles de former sur toute surface de révolution un réseau conjugué, est due à M. Kœnigs.

On peut la tirer directement du théorème de Dupin. En effet, tout point M de la surface ^g* lo) détermine avec la droite (D) un plan qui coupe la surface suivant une courbe (P); Isi tangente en M à cette courbe rencontre (D) en un point O ; ce point O est le sommet d'un cône circonscrit dont la courbe de contact (C) passe en M. On voit ainsi que, par tout point M de la surface,

passe une courbe de chacune des familles considérées. De plus, le plan tangent, mené à la surface le long de (C), coïncidant avec le plan tangent au cône, a pour caractéristique la génératrice MO, qui est tangente à la section (P). Or, la droite conjuguée de cette caractéristique est la tangente MT à la courbe (G). Il suit de là que le réseau formé par les courbes (P) et les courbes (C) est un réseau conjugué.